Работа с векторами и матрицами
Задание: Решить линейную систему уравнений 3 – го порядка. Коэффициенты задать самим (Решение проверить в ручную, применив один из численных методов). Найти собственные значения и вектор квадратной матрицы А.
Вектор решения х такой, что х = А−1∙В
3.1. Запустите программу MathCad.
3.2. Создайте матрицу А. Начните запись оператора присваивания, а для ввода правой части нажмите комбинацию клавиш CTRL и M, воспользуйтесь командой Insert → Matrix (Вставка → Матрица) из меню Математика или щелкните на кнопке Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели инструментов Matrix (Матрица).
3.3. В открывшемся диалоговом окне Matrix (Вставка) укажите число строк и столбцов (по три) и щелкните на кнопке Ок.
3.4. Введите значения элементов матрицы в отведенные места.
3.5. Аналогичным образом сформируйте матрицу В. Она будет представлять собой матрицу, имеющую только один столбец.
3.6. Решение уравнения можно получить используя функцию lsolve(A,B) или х: = А−1∙В.
3.7. Собственные значения квадратной матрицы можно получить при помощи функции eigenvals. Результатом ее работы является вектор собственных значений, присвойте его переменной L.
3.8. Функция eigenvec позволяет получить собственный вектор, соответствующий данному собственному значению. Ей нужны два параметра: матрица, для которой ищется собственный вектор, и собственное значение, которому он соответствует. Чтобы записать собственные вектора в качестве столбцов матрицы S, надо присвоить вычисленное значение столбцу матрицы. Столбцы матрицы в программе MathCad выбираются специальным верхним индексом, заключенным в угловые скобки. Чтобы ввести номер столбца, нажмите комбинацию клавиш CTRLи 6 или щелкните на кнопке Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица), после чего введите номер нужного столбца матрицы. Будьте внимательны - столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с нуля.
3.9. В правой части оператора присваивания надо указать собственное значение матрицы. Собственные значения являются элементами вектора L. Номер элемента указывается как нижний индекс. Для ввода нижнего индекса нажмите клавишу [ или воспользуйтесь кнопкой Subscript(Индекс) на панели инструментов Matrix. Итоговый оператор для первого собственного вектора будет выглядеть следующим образом: S<0>:= eigenvec(A,L0). Аналогично задайте операторы для второго и третьего собственных значений.
В работе также произвести следующие действия над матрицей: 1) транспонировать (АТ); 2) вычислить обратную к А матрицу А–1; 3) возвести матрицу А в 3-ю степень.
Содержание отчета: 1) задание на работу; 2) исходные данные, математические формулы и результаты расчетов; 3) выводы по работе.
Аналитические вычисления
Задание 1: Определить точку пересечения двух прямых, описываемых уравнениями
х + 2∙π∙у = а
4∙х + у = b
4.1.1. Запустите программу MathCad.
4.1.2. Введите ключевое слово given.
4.1.3. Введите уравнения прямых.
4.1.4. Введите функцию find, перечислив в качестве параметров неизвестные х, у. Затем введите оператор аналитического вычисления комбинацией клавиш CTRL и . или ввести команду Вычислить, Вычислить в символахиз меню ″Символика″.
4.1.5. Щелкните за пределами данного блока, и программа MathCad произведет аналитическое решение системы уравнений.
Задание 2: Найти все корни уравнения:
(1 + y – y2)2 +y = 2
Это уравнение четвертого порядка. Легко подобрать один корень (у = 1). Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что поиск других корней этого уравнения – дело непростое. Неясно даже, сколько еще действительных корней имеет данное уравнение. Результаты численного решения зависят от подбора начального приближения и поэтому не гарантируют отыскание всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически.
4.2.1. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, в начале выделите все выражение, а затем дайте команду Symbolics→Simplify (Аналитические вычисления → Упростить).
4.2.2. Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном случае у) и выберите Решить относительно переменной из меню ″Символика″.
Программа MathCad выдаст вектор, элементами которого являются корни данного уравнения.
12.2.3. Для упрощения полученного выражения вначале выделите его, а затем дайте команду Symbolics→Simplify (Аналитические вычисления → Упростить).
4.2.5. Чтобы получить результат в числовом виде (1, 1.802, -1.247, 0.445), достаточно ввести в конце выражения (итогового или на любой из предыдущих стадий) команду вычисления (=).
Задание 3:Вычислить интеграл от х2∙ех в общем виде.
4.3.1. Запустите программу MathCad.
4.3.2. Введите заданную функцию.
4.3.3. Щелкните на х (после этого она будет выделена в виде черного прямоугольника).
4.3.4. Выберите команду Интегрировать по переменной из меню ″Символика″.
4.3.5 Или
Содержание отчета: 1) задание на работу; 2) исходные данные, математические формулы и результаты расчетов; 3) выводы по работе.