Построение доверительных интервалов.

1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Пусть исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с известным средним квадратическим σ, и требуется по значению выборочного среднего оценить ее математическое ожидание а. Будем рассматривать выборочное среднее как случайную величину а значения вариант выборки х₁, х₂,…, х_п как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁, Х₂,…, Х_п, каждая из которых имеет математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. При этом М( ) = а, (используем свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин). Оценим вероятность выполнения неравенства . Применим формулу для вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал:

р ( ) = 2Ф . Тогда , с учетом того, что , р ( ) = 2Ф =

=2Ф( t ), где . Отсюда , и предыдущее равенство можно переписать так:

.

Итак, значение математического ожидания а с вероятностью (надежностью) γ попадает в интервал , где значение t определяется из таблиц для функции Лапласа так, чтобы выполнялось равенство 2Ф(t) = γ.

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Если известно, что исследуемая случайная величина Х распределена по нормальному закону с неизвестным средним квадратическим отклонением, то для поиска доверительного интервала для ее математического ожидания построим новую случайную величину

, (18.2)

где - выборочное среднее, s – исправленная дисперсия, п – объем выборки. Эта случайная величина, возможные значения которой будем обозначать t, имеет распределение Стьюдента (см. лекцию 12) с k = n – 1 степенями свободы.

Поскольку плотность распределения Стьюдента , где , явным образом не зависит от а и σ, можно задать вероятность ее попадания в некоторый интервал (- t_γ , t_γ ), учитывая четность плотности распределения, следующим образом: . Отсюда получаем: (18.3)

Таким образом, получен доверительный интервал для а, где t_γ можно найти по соответствую-щей таблице при заданных п и γ.

26. Элементы теории корреляции. Выборочное уравнение регрессии. Линейная регрессия.Пусть составляющие Х и Y двумерной случайной величины (Х, Y) зависимы. Будем считать, что одну из них можно приближенно представить как линейную функцию другой, напримерY ≈ g(Х) = α + βХ, (11.2)и определим параметры α и β с помощью метода наименьших квадратов.Определение 11.2. Функция g(Х) = α + βХ называется наилучшим приближениемY в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание М(Y - g(Х))² принимает наименьшее возможное значение; функцию g(Х) называют среднеквадратической регрессиейY на Х.Теорема 11.1. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид: (11.3)где - коэффициент корреляции Х и Y. Доказательство. Рассмотрим функцию F(α, β) = M(Y – α – βX)² (11.4)и преобразуем ее, учитывая соот-ношения M(X – m_x) = M(Y – m_y) = 0, M((X – m_x)(Y – m_y)) = =K_xy = rσ_xσ_y: .Найдем стационарные точки полученной функции, решив систему

Решением системы будет .Можно проверить, что при этих значениях функция F(α, β) имеет минимум, что доказывает утверждение теоремы.Определение 11.3. Коэффициент называется коэффициентом регрессии Y на Х, а прямая - (11.5)- прямой среднеквадратической регрессии Y на Х.

Подставив координаты стационарной точки в равенство (11.4), можно найти минимальное значение функции F(α, β), равное Эта величина называется остаточной дисперсией Y относительно Х и характеризует величину ошибки, допускаемой при замене Y на g(Х) = α+βХ. При остаточная дисперсия равна 0, то есть равенство (11.2) является не приближенным, а точным. Следовательно, при Y и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии Х на Y: (11.6) и остаточную дисперсию Х относительно Y. При обе прямые регрессии совпадают. Решив систему из уравнений (11.5) и (11.6), можно найти точку пересечения прямых регрессии – точку с координатами (т_х, т_у), называемую центром совместного распределения величин Х и Y. Линейная корреляция. Для двумерной случайной величины (Х, Y) можно ввести так называемое условное математи-ческое ожидание Yпри Х = х. Для дискретной случайной величины оно определяется как (11.7) для непрерывной случайной величины – . (11.8) Определение 11.4. Функцией регрессии Y на Х называется условное математическое ожидание M( Y / x ) = f(x). Аналогично определяется условное математическое ожидание Х и функция регрессии Х на Y. Определение 11.5. Если обе функции регрессии Х на Y и Y на Х линейны, то говорят, что Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. При этом графики линейных функций регрессии являются прямыми линиями, причем можно доказать, что эти линии совпадают с прямыми среднеквадратической регрессии. Теорема .Если двумерная случайная величина (Х, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. Доказательство. Найдем условный закон распределения Y при Х = х , используя формулу двумерной плотности вероятности нормального распределения (11.1) и формулу плотности вероятности Х: . (11.9) Сделаем замену . Тогда

= .

Полученное распределение является нормальным, а его мате-матическое ожидание есть функция регрессии Y на Х (см. опреде-ление 11.4)). Аналогично можно получить функцию регрессии Х на Y: . Обе функции регрессии линейны, поэтому корреляция между Х и Y линейна, что и требовалось доказать. При этом уравнения прямых регрессии имеют вид , , то есть совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии (см. формулы (11.5), (11.6)).