Методика составления уравнений состояния на основе принципа наложения
Данная методика составления уравнений состояния вытекает из разделения исходной цепи на две подсхемы:
- первая включает в себя элементы, запасающие энергию, а также нелинейные резистивные элементы и источники питания;
-вторая охватывает линейные резистивные элементы.
Пример такого представления исходной цепи приведен на рис. 1,а, где пассивный многополюсник П соответствует второй подсхеме .
Следующий этап рассматриваемой методики заключается в замене на основании теоремы о компенсации всех конденсаторов, а также нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа u(i) источниками напряжения, а всех катушек индуктивности и нелинейных резистивных элементов с характеристикой типа i(u) – источниками тока (рис. 1,б). В результате исходная цепь трансформируется в резистивную, в которой, помимо заданных (независимых) источников, действуют управляемые источники.
Рис. 1
На третьем этапе с использованием метода наложения определяются выражения входных токов и напряжений пассивного многополюсника П через напряжения и токи всех присоединенных к нему источников.
В качестве примера составим уравнения состояния для цепи на рис. 2,а и определим выражения 
и 
.
 | |
| а) | б) |
| Рис.2 |
1. В соответствии с изложенной методикой заменим исходную цепь схемой замещения на рис. 2,б. На основании метода наложения этой схеме соответствует пять цепей, приведенных на рис. 3. С их использованием для тока 
=dq/dt в ветви с конденсатором и напряжения 
на зажимах катушки индуктивности запишем
 | (2) |
| а) | б) | в) |
| г) | д) |
Рис. 3
 | (3) |
2. Выражение для искомого напряжения 
определяется согласно закону Ома:
 | ( 4) |
На основании метода наложения с использованием расчетных схем на рис. 3 для второй искомой переменной – тока 
запишем
 | ( 5) |
 |
3. Объединив (2) 
(5) с учетом 
, получим матричное уравнение вида (1):
 | = |  |  | . |
Вектор начальных значений 
= 
.
Сравнивая в заключение рассмотренные методики составления уравнений состояния, можно отметить, что методика, основанная на использовании принципа наложения, не содержит достаточно сложного этапа исключения переменных резистивных ветвей из уравнений состояния, входящего в методику составления уравнений на основе таблицы соединений. Вместе с тем использование метода наложения для сложных цепей может также оказаться весьма трудоемкой задачей.
Метод дискретных моделей
Метод основан на использовании дискретных моделей индуктивного и емкостного элементов и позволяет свести численный анализ динамических процессов в нелинейных цепях к последовательному расчету на каждом шаге нелинейных резистивных цепей.
Дискретные модели вытекают из неявных алгоритмов, в частности из обратной формулы Эйлера. Эти модели, полученные на основе неявного алгоритма Эйлера, а также выражения для параметров входящих в них элементов приведены в табл. 1.
Таблица 1. Дискретные модели индуктивного и емкостного элементов
| Тип элемента | Аналитические соотношения | Дискретная модель | ||||
|
|  |
где 
; 
; 
где 
; 
; 
. Примечание: если емкостный и индуктивный элементы линейные и 
то 
и 
.
Метод дискретных моделей хорошо поддается машинной алгоритмизации и используется для расчета сложных нелинейных цепей на ЭВМ. Для достаточно простых схем он может быть реализован ’’вручную’’.
Последовательность расчета нелинейной цепи методом дискретных моделей иллюстрируется приведенным ниже примером решения задачи.
В цепи на рис. 3 предыдущей задачи ЭДС источника Е = 1В; 
1Ом; 
4 Ом. Вебер - амперная характеристика нелинейной катушки индуктивности аппроксимирована выражением 
где ток – в амперах, потокосцепление – в веберах.
Рассчитать ток i в цепи после замыкания ключа
.
Решение
1. Нарисуем расчетную дискретную схему замещения цепи (см. рис. 4).
Для этой схемы справедливо
 | (6) |
где в соответствии с табл. 1
Значение дифференциальной индуктивности нелинейной катушки на k-м шаге
 | (7) |
2. Выберем шаг интегрирования 
На основании закона коммутации 
Тогда 
и в соответствии с (7) 
. Параметры элементов схемы замещения: 
откуда на основании (6)
На следующем шаге 
тогда 
и параметры элементов схемы замещения 
откуда
Результаты пошагового расчета согласно приведенному алгоритму представлены в табл. 2 .
Таблица 2. Результаты расчета
 |  |  |  |  |  |  |  |
| с | А | Вб | Гн | Ом | В | А | |
| 0,2 | 0,585 | 0,974 | 0,974 | 0,195 | 0,605 | ||
| 0,605 | 0,846 | 0,466 | 0,466 | 0,282 | 0,874 | ||
| 0,874 | 0,956 | 0,365 | 0,365 | 0,319 | 0,966 | ||
| 0,966 | 0,989 | 0,341 | 0,341 | 0,329 | 0,99 | ||
| 0,99 | 0,997 | 0,335 | 0,335 | 0,332 | 0,998 |
Литература
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Матханов П.Н.Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с.
Контрольные вопросы
- Какие графические методы применяются для расчета переходных процессов в нелинейных цепях? В чем их сущность?
- Какие методики применяются для составления уравнений состояния?
- Сформулируйте этапы составления уравнений состояния на основе принципа наложения.
- В чем заключается сущность метода дискретных моделей?
- Нарисуйте дискретные модели нелинейных индуктивного и емкостного элементов и напишите соответствующие им аналитические соотношения.
В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, т.е. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, т.е. являются функциями двух независимых переменных: времени t и пространственной координаты x. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами – соответственно емкостью и проводимостью. Для оценки, к какому типу отнести цепь: с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны  . Если  , то линию следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Например, для  , т.е. при  , и  . Для  , т.е. уже при  к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами. Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной.Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки. Уравнения однородной линии в стационарном режиме Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление  , индуктивность  , проводимость  и емкость  , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины  со структурой, показанной на рис. 1.  Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно  и  . Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа  или после сокращения на
Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при Вводя комплексные величины и заменяя
где Продифференцировав (3) по х и подставив выражение
Характеристическое уравнение
откуда
Таким образом,
где Для тока согласно уравнению (3) можно записать
где Волновое сопротивление Определяя
Аналогичное уравнение согласно (6) можно записать для тока. Слагаемые в правой части соотношения (7) можно трактовать как бегущие волны: первая движется и затухает в направлении возрастания х, вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты х, а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени.
На рис. 2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени
Продифференцировав (8) по времени, получим
Длиной волны
откуда
и с учетом (9)
В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, - перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:
где в соответствии с (5) Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно (10) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково: от верхнего провод Аналогично для тока на основании (6) можно записать
где Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны: положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока На основании (10) и (11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома
Рассмотрим теоретически важный случай бесконечно длинной однородной линии. Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы В случае бесконечно длинной линии в выражениях (5) и (6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие
На основании соотношений (12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению:
Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода: Уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока. У линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому. Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным,а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой. Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи. Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига
откуда КПД линии
и затухание
Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности в Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ: | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Лекция N 39. Линия без искажений. |
; 
. 
можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока.
на 
, на основании (1) и (2) получаем
; 
, 
и 
- соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии.
из (4), запишем
.
,
.
, 
- постоянная распространения; 
- коэффициент затухания; 
- коэффициент фазы.
, 
- волновое сопротивление.
и постоянную распространения 
называютвторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации.
и 
, на основании (5) запишем
. 
Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания х, называют прямой, а движущуюся от конца линии в направлении убывания х – обратной.
и 
. Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью. Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, т.е. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и ту же фазу волны:
. 
. 
называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на 
рад. В соответствии с данным определением
,
.
, 
и .
а к нижнему.
, 
и 
.
(от начала к концу линии), а положительное направление обратной волны ему противоположно.
. 
, должны отсутствовать, т.к. стремление 
лишает эти составляющие физического смысла. Следовательно, в рассматриваемом случае 
. Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным
.
между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна 
, то мощность в конце линий длиной 
в данном случае
,
.
раз, а по напряжению или току – в 
раз.
. 
.
, 
, если частота 
. 
; 
; 
.
Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является периодическим, т.е. его можно разложить в ряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для составляющих его гармонических затухание и фазовая скорость различны, т.е. если последние являются функциями частоты. Таким образом, для отсутствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи информации, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым затуханием, поскольку только в этом случае, сложившись, они образуют в конце линии сигнал, подобный входному. Идеальным в этом случае является так называемаялиния без потерь, у которой сопротивление и проводимость равны нулю. Действительно, в этом случае  , т.е. независимо от частоты коэффициент затухания  и фазовая скорость  . Однако искажения могут отсутствовать и в линии с потерями. Условие передачи сигналов без искажения вытекает из совместного рассмотрения выражений для постоянной распространения
и фазовой скорости
Из (1) и (2) вытекает, что для получения
Как показывает анализ (3), при
Линия, параметры которой удовлетворяют условию (4), называется линией без искажений. Фазовая скорость для такой линии
и затухание
Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных) Наши рекомендации |
. 
и 
, что обеспечивает отсутствие искажений, необходимо, чтобы 
, т.е. чтобы волновое сопротивление не зависело от частоты.
. 
есть вещественная константа.
.
. Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.