Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Таблица 1. Таблица соединений

  u
-1
J  

Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.

В рассматриваемом случае (равенство Методика составления уравнений состояния - student2.ru тривиально)

Методика составления уравнений состояния - student2.ru ,

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

Методика составления уравнений состояния - student2.ru (7)

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.

Литература

  1. Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Матханов П.Н.Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учеб. для электротехн. радиотехн. спец. вузов. 3-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1990. –400с.

Контрольные вопросы и задачи



  1. Какой принцип лежит в основе метода расчета переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля, и для каких цепей может быть использован данный метод?
  2. В каких случаях целесообразно использовать метод расчета с использованием интеграла Дюамеля?
  3. В цепи на рис. 3 при Методика составления уравнений состояния - student2.ru напряжение на входе цепи мгновенно спадает до нуля. Определить ток в цепи.

Ответ: Методика составления уравнений состояния - student2.ru при Методика составления уравнений состояния - student2.ru ; Методика составления уравнений состояния - student2.ru при Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

  1. Какие требования и почему выдвигаются к уравнениям состояния?
  2. Что включает в себя система уравнений при расчете переходного процесса в цепи методом переменных состояния?
  3. Перечислите основные этапы методики составления уравнений состояния.
  4. Записать матрицы А и Вдля цепи на рис. 5, если Методика составления уравнений состояния - student2.ru , Методика составления уравнений состояния - student2.ru , Методика составления уравнений состояния - student2.ru , Методика составления уравнений состояния - student2.ru , Методика составления уравнений состояния - student2.ru , Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Методика составления уравнений состояния - student2.ru

Ответ: А Методика составления уравнений состояния - student2.ru ;
В Методика составления уравнений состояния - student2.ru
Лекция N 28. Нелинейные цепи.
Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент. Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графиками. Нелинейные элементы можно разделить надвух– и многополюсные.Последние содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов, с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик от входных переменных и наоборот: входные характеристики строят для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, выходные – для ряда фиксированных значений одного из входных. По другому признаку классификации нелинейные элементы можно разделить на инерционныеи безынерционные.Инерционными называются элементы, характеристики которых зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические характеристики, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, устанавливающих взаимосвязь между мгновенными значениями переменных. Безынерционными называются элементы, характеристики которых не зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические и динамические характеристики совпадают. Понятия инерционных и безынерционных элементов относительны: элемент может рассматриваться как безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных. В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы координат: Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Для несимметричной характеристики это условие не выполняется, т.е. Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Наличие у нелинейного элемента симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта. По типу характеристики можно также разделить все нелинейные элементы на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками. Однозначной называется характеристика Методика составления уравнений состояния - student2.ru , у которой каждому значению х соответствует единственное значение y и наоборот. В случае неоднозначной характеристики каким-то значениям х может соответствовать два или более значения y или наоборот. У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием падающего участка, для которого Методика составления уравнений состояния - student2.ru , а у нелинейных индуктивных и емкостных элементов – с гистерезисом. Наконец, все нелинейные элементы можно разделить на управляемыеи неуправляемые.В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех- и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др. в которых, изменяют их основные характеристики: вольт-амперную, вебер-амперную или кулон-вольтную.   Нелинейные электрические цепи постоянного тока Нелинейные свойства таких цепей определяет наличие в них нелинейных резисторов. В связи с отсутствием у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между напряжением и током их нельзя охарактеризовать одним параметром (одним значением Методика составления уравнений состояния - student2.ru ). Соотношение между этими величинами в общем случае зависит не только от их мгновенных значений, но и от производных и интегралов по времени.   Параметры нелинейных резисторов В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления. Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми двумя из перечисленных параметров. Методика составления уравнений состояния - student2.ru Статическое сопротивлениеравно отношению напряжения на резистивном элементе к протекающему через него току. В частности для точки 1 ВАХ на рис. 1 Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Поддифференциальным сопротивлением понимается отношение бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Следует отметить, что у неуправляемого нелинейного резистора Методика составления уравнений состояния - student2.ru всегда, а Методика составления уравнений состояния - student2.ru может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 1). В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического сопротивления Методика составления уравнений состояния - student2.ru , определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения переменной, например тока, может меняться не только величина, но и знак Методика составления уравнений состояния - student2.ru .   Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим.В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи. Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:
  • графическими;
  • аналитическими;
  • графо-аналитическими;
  • итерационными.
  Графические методы расчета При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями. а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов. При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ Методика составления уравнений состояния - student2.ru отдельных резисторов в системе декартовых координат Методика составления уравнений состояния - student2.ru строится результирующая зависимость Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой Методика составления уравнений состояния - student2.ru опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей Методика составления уравнений состояния - student2.ru определяются напряжения Методика составления уравнений состояния - student2.ru на отдельных резистивных элементах. Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а. Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом –методом пересечений.В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ Методика составления уравнений состояния - student2.ru на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения Методика составления уравнений состояния - student2.ru точка а (см. рис. 3) пересечения кривых Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru определяет режим работы цепи. Кривая Методика составления уравнений состояния - student2.ru строится путем вычитания абсцисс ВАХ Методика составления уравнений состояния - student2.ru из ЭДС Е для различных значений тока. Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам. б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов. При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ Методика составления уравнений состояния - student2.ru отдельных резисторов в системе декартовых координат Методика составления уравнений состояния - student2.ru строится результирующая зависимость Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ Методика составления уравнений состояния - student2.ru ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой Методика составления уравнений состояния - student2.ru опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей Методика составления уравнений состояния - student2.ru определяются токи Методика составления уравнений состояния - student2.ru в ветвях с отдельными резистивными элементами. Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а. Методика составления уравнений состояния - student2.ru в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов. 1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности: Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б). 2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.   Метод двух узлов Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем: Строятся графики зависимостей Методика составления уравнений состояния - student2.ru токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения Методика составления уравнений состояния - student2.ru между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых Методика составления уравнений состояния - student2.ru смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС Методика составления уравнений состояния - student2.ru в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Соответствующие данной точке токи являются решением задачи. Методика составления уравнений состояния - student2.ru Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений. В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 5. Для нее выражаем напряжения на резистивных элементах в функции Методика составления уравнений состояния - student2.ru :
Методика составления уравнений состояния - student2.ru ; (1)


Методика составления уравнений состояния - student2.ru ; (2)
Методика составления уравнений состояния - student2.ru . (3)

Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветви Методика составления уравнений состояния - student2.ru , и рассчитываем Методика составления уравнений состояния - student2.ru , а затем по Методика составления уравнений состояния - student2.ru с использованием (1) и (3) находим Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru и по зависимостям Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru - соответствующие им токи Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru и т.д. Результаты вычислений сводим в табл. 1, в последней колонке которой определяем сумму токов

Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Таблица 1. Таблица результатов расчета методом двух узлов

Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru
             

Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна равнять нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 1 величина Методика составления уравнений состояния - student2.ru указывает, каким значением Методика составления уравнений состояния - student2.ru следует задаваться на следующем шаге.

В осях Методика составления уравнений состояния - student2.ru строим кривую зависимости Методика составления уравнений состояния - student2.ru и по точке ее пересечения с осью напряжений определяем напряжение Методика составления уравнений состояния - student2.ru между точками m и n. Для найденного значения Методика составления уравнений состояния - student2.ru по (1)…(3) рассчитываем напряжения на резисторах, после чего по заданным зависимостям Методика составления уравнений состояния - student2.ru определяем токи в ветвях схемы.

Литература

  1. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Почему метод наложения неприменим к нелинейным цепям?
  2. Какие параметры характеризуют нелинейный резистор?
  3. Почему статическое сопротивление всегда больше нуля, а дифференциальное и динамическое могут иметь любой знак?
  4. Какие методы используют для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока?
  5. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с последовательным соединением резисторов?
  6. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с параллельным соединением резисторов?
  7. Какой алгоритм анализа цепи со смешанным соединением нелинейных резисторов?
  8. В чем сущность метода двух узлов?
  9. В цепи на рис. 2,а ВАХ нелинейных резисторов Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где напряжение – в вольтах, а ток – в амперах; Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Графическим методом определить напряжения на резисторах.

Ответ: Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

  1. В цепи на рис. 4,а ВАХ нелинейных резисторов Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах; Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Графическим методом определить токи Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Ответ: Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

  1. В цепи на рис. 5 Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах; третий резистор линейный с Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Определить токи в ветвях методом двух узлов, если Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Ответ: Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Лекция N 29. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора.
Если в сложной электрической цепи имеется одна ветвь с нелинейным резистором, то определение тока в ней можно проводить на основе теоремы об активном двухполюснике (методом эквивалентного генератора). Идея решения заключается в следующем. Ветвь, содержащая нелинейный резистор, выделяется из исходной цепи, а вся остальная, уже линейная, схема представляется в виде активного двухполюсника (АД). Согласно теореме об АД схему линейного АД по отношению к зажимам 1-2 выделенной ветви (см. рис. 1,а) можно представить эквивалентным генератором (см. рис. 1,б) с ЭДС, равной напряжению Методика составления уравнений состояния - student2.ru на зажимах 1-2 при разомкнутой ветви с нелинейным резистором, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению линейного двухполюсника. Последняя схема рассчитывается, например, графическим методом как цепь с последовательным соединением элементов. Методика составления уравнений состояния - student2.ru Если необходимо также найти токи в линейной части исходной цепи, то после расчета нелинейной схемы на рис. 1,б в соответствии с теоремой о компенсации нелинейный резистор заменяется источником ЭДС или тока, после чего проводится анализ полученной линейной цепи любым известным методом.   Аналитические методы расчета Исследования общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом выражении характеристик нелинейных элементов, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой области. К аналитическим методам относятся:
  • метод аналитической аппроксимации;
  • метод кусочно-линейной аппроксимации;
  • метод линеаризации.
Метод аналитической аппроксимацииоснован на замене характеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением. Применяются следующие виды аналитической аппроксимации:
  • степенным многочленом (см. рис. 2,а);
  • трансцендентными (экспоненциальными, гиперболическими и др.) функциями (см. рис. 2,б).
Выбор коэффициентов (а,b,c,…) осуществляется исходя из наибольшего соответствия аналитического выражения рабочему участку нелинейной характеристики. При этом Методика составления уравнений состояния - student2.ru выбираются наиболее характерные точки, через которые должна пройти аналитическая кривая. Число точек равно числу коэффициентов в аналитическом выражении, что позволяет однозначно определить последнее. Необходимо помнить, что при получении нескольких корней нелинейного уравнения они должны быть проверены на удовлетворение задаче. Пусть, например, в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного R и нелинейного резисторов, ВАХ последнего может быть аппроксимирована выражением Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Определить ток в цепи, если источник ЭДС Е обеспечивает режим работы цепи в первом квадранте. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данной цепи имеет место уравнение Методика составления уравнений состояния - student2.ru или Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Корни уравнения Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Решением задачи является Методика составления уравнений состояния - student2.ru , поскольку второе решение Методика составления уравнений состояния - student2.ru не удовлетворяет условиям исходя из физических соображений. Метод кусочно-линейной аппроксимацииоснован на представлении характеристики нелинейного элемента отрезками прямых линий (см. рис. 3), в результате чего нелинейная цепь может быть описана линейными уравнениями с постоянными (в пределах каждого отрезка) коэффициентами. Методика составления уравнений состояния - student2.ru При наличии в цепи двух и более нелинейных резисторов реализация метода затруднена, так как в общем случае изначально неизвестно, на каких участках ломаных кривых находятся рабочие точки. Кусочно-линейная аппроксимация может быть реализована методом секционных кусочно-линейных функций,позволяющим описать ломаную кривую общим аналитическим выражением. Например, для кривой, представленной на рис. 4 и определяемой коэффициентами Методика составления уравнений состояния - student2.ru и Методика составления уравнений состояния - student2.ru характеризующими наклон ее отдельных прямолинейных участков, и параметрами Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru , характеризующими координаты точек, где значения функции изменяются скачками, данное выражение будет иметь вид Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Здесь два первых слагаемых в правой части определяют первый наклонный участок аппроксимируемой кривой; три первых слагаемых - первый наклонный участок и участок первого скачка; четыре первых слагаемых - первый и второй наклонные участки с учетом участка первого скачка и т.д. В общем случае аппроксимирующее выражение по методу секционных кусочно - линейных функций имеет вид Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Метод линеаризацииприменим для анализа нелинейных цепей при малых отклонениях рабочей точки Р (см. рис. 5) от исходного состояния. Методика составления уравнений состояния - student2.ru В окрестности рабочей точки Методика составления уравнений состояния - student2.ru (см. рис. 5) Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где Методика составления уравнений состояния - student2.ru (закон Ома для малых приращений); Методика составления уравнений состояния - student2.ru -дифференциальное сопротивление. Идея метода заключается в замене нелинейного резистора линейным с сопротивлением, равным дифференциальному в заданной (или предполагаемой) рабочей точке, и либо последовательно включенным с ним источником ЭДС, либо параллельно включенным источником тока. Таким образом, линеаризованной ВАХ (см. прямую на рис. 5) соответствует последовательная (рис. 6,а) или параллельная (рис. 6,б) схема замещения нелинейного резистора. Если исходный режим определен и требуется рассчитать лишь приращения токов и (или) напряжений, обусловленные изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать эквивалентные схемы для приращений,получаемые на основании законов Кирхгофа для малых приращений: -первый закон Кирхгофа: Методика составления уравнений состояния - student2.ru ; -второй закон Кирхгофа: Методика составления уравнений состояния - student2.ru . При составлении схемы для приращений: 1) все ЭДС и токи источников заменяются их приращениями; 2) нелинейные резисторы заменяются линейными с сопротивлениями, равными дифференциальным в рабочих точках. Необходимо помнить, что полная величина какого-либо тока или напряжения в цепи равна алгебраической сумме исходного значения переменной и ее приращения, рассчитанного методом линеаризации. Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости   Итерационные методы расчета Решение нелинейного уравнения (системы нелинейных уравнений), описывающего (описывающих) состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами. Решение находится следующим образом: на основе первой, достаточно грубой, оценки определяется начальное значение корня (корней), после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности. Наиболее широкое применение в электротехнике для численного расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простой итерации и метод Ньютона-Рафсона, основные сведения о которых приведены в табл. 1. Таблица 1. Итерационные методы расчета
Последователь-ность расчета Геометрическая иллюстрация алгоритма Условие сходимости итерации Примечание
Метод простой итерации 1.Исходное нелинейное уравнение электрической цепи Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где Методика составления уравнений состояния - student2.ru -искомая переменная, представляется в виде Методика составления уравнений состояния - student2.ru . 2. Производится расчет по алгоритму Методика составления уравнений состояния - student2.ru где Методика составления уравнений состояния - student2.ru - шаг итерации.   Методика составления уравнений состояния - student2.ru Здесь Методика составления уравнений состояния - student2.ru - заданная погрешность На интервале между приближенным и точным значениями корня должно выполняться неравенство Методика составления уравнений состояния - student2.ru 1.Начальное приближение Методика составления уравнений состояния - student2.ru обычно находится из уравнения Методика составления уравнений состояния - student2.ru при пренебрежении в нем нелинейными членами. 2. Метод распространим на систему нелинейных уравнений n-го порядка. Например, при решении системы 2-го порядка Методика составления уравнений состояния - student2.ru итерационные формулы имеют вид Методика составления уравнений состояния - student2.ru ; Методика составления уравнений состояния - student2.ru . 3. При решении системы уравнений сходимость обычно проверяется в процессе итерации.  
Метод Ньютона- -Рафсона 1. На основании исходного нелинейного уравнения электрической цепи Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где Методика составления уравнений состояния - student2.ru -искомая переменная, записывается итерационная формула Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru где Методика составления уравнений состояния - student2.ru - шаг итерации. 2.По полученной формуле проводится итерационный расчет Методика составления уравнений состояния - student2.ru Здесь Методика составления уравнений состояния - student2.ru - заданная погрешность На интервале между приближенным и точным значениями корня должны выполняться неравенства Методика составления уравнений состояния - student2.ru Примечания п. 1,2 и 3 к методу простой итерации распространимы на метод Ньютона-Рафсона. При этом при решении системы 2-го порядка Методика составления уравнений состояния - student2.ru итерационные формулы имеют вид Методика составления уравнений состояния - student2.ru где Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru Методика составления уравнений состояния - student2.ru

Литература

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
  4. Матханов П.Н.Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.: Учеб. для студ. электротехн. спец. вузов. 2-е изд., переработ. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352с.
  5. Чуа Л.О., Лин Пен-Мин.Машинный анализ электронных схем: алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. –М.: Энергия, 1980. – 640 с.
  6. Сборник задач и упражнений по теоретически основам электротехники: Учеб. пособие для вузов /Под ред. проф. П.А.Ионкина. –М.: Энергоиздат, 1982. –768 с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Как рассчитываются цепи с одним нелинейным резистором и произвольным числом линейных?
  2. В чем преимущества и недостатки аналитических методов расчета по сравнению с графическими?
  3. Какие аналитические методы используются для расчета нелинейных резистивных цепей постоянного тока?
  4. В чем сущность метода линеаризации? Для решения каких двух типов задач он применяется?
  5. Что такое эквивалентные схемы для приращений? Как они составляются?
  6. Какова последовательность расчета нелинейных цепей итерационными методами?
  7. В диагонали моста находится нелинейный резистор, ВАХ которого аппроксимирована выражением Методика составления уравнений состояния - student2.ru , где Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Линейные сопротивления противоположных плеч моста попарно равны: Методика составления уравнений состояния - student2.ru ; Методика составления уравнений состояния - student2.ru . Определить мощность, рассеиваемую нелинейным резистором, если схема питается от источника с ЭДС Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Ответ: Р=2 Вт.

  1. Определить ток в цепи, состоящей из последовательно соединенных линейного Методика составления уравнений состояния - student2.ru и нелинейного резисторов, если кривая ВАХ последнего Методика составления уравнений состояния - student2.ru проходит через точки с координатами (15 В; 1,425 А) и (5 В; 0,325 А) и аппроксимирована выражением вида Методика составления уравнений состояния - student2.ru . ЭДС на входе цепи Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

Ответ: Методика составления уравнений состояния - student2.ru .

  1. В схеме предыдущей задачи ВАХ нелинейного резистора описывается выражением (ток – в амперах, напряжение – в вольтах) Методика составления уравнений состояния - student2.ru ;

    Наши рекомендации