Основные расчетные соотношения. Исходным положением для анализа переходного процесса в линейных электрических цепях является то, что переход реальной цепи от одного установившегося режима к
Исходным положением для анализа переходного процесса в линейных электрических цепях является то, что переход реальной цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, поскольку это потребует бесконечной мощности подключаемых источников. Отсутствие таких источников приводит к тому, что суммарная запасенная в цепи энергия может изменяться только плавно, т.е. представляет собой непрерывную функцию времени. Это позволяет сделать вывод о неизменности в первое мгновение после коммутации t=0+ суммарных потокосцепления и заряда в цепи по отношению к их значениям в мгновение перед коммутацией t=0-:
(2.1)
Если при коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих L и C, то из (2.1) следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей (в первое мгновение эти параметры неизменны, а затем плавно изменяются, начиная со своих значений) – первый и второй законы коммутации:
iL(0+)=iL(0-), uc(0+)=uc(0-). (2.2)
При этом iC , uL , iR , uR могут изменяться произвольно, в том числе и скачкообразно.
При анализе переходного процесса в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом необходимо провести:
1. Анализ цепи до коммутации (определение независимых начальных условий iL, uСпри 
).
2. Определение iL, uCпри 
с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и заряда.
3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации при t 
0 (относительно искомого iL, или uC):
. (2.3)
4. Определение свободной составляющей реакции цепи (составление характеристического уравнения цепи, определение его корней и общего вида свободной составляющей – общего решения ОДУ):
, (2.4)
(2.5)
когда все корни уравнения (2.4) простые (различные);
(2.6)
для корня pk характеристического уравнения (2.4) кратностью n.
5. Анализ установившегося процесса в цепи после коммутации при 
(отыскание принужденной составляющей реакции цепи – частного решения ДУ цепи):
. (2.7)
6. Нахождение общего вида реакции цепи (общее решение ДУ – суммирование свободных и принужденных составляющих):
(2.8)
7. Определение постоянных интегрирования 
, которые находятся по независимым начальным условиям – значениям i, u и их 
первым производным при t = 0 .
8. Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям (подставляя постоянные интегрирования в общее решение ДУ цепи находим его решение, соответствующее заданным начальным условиям, т.е. i либо u одной из ветвей при t >0).
Следует отметить, что в цепях с одним энергоемким элементом переходный процесс апериодический. В цепях с малыми потерями, содержащих индуктивность и емкость при коммутации возможно появление колебаний. Это явление наблюдается при отрицательном дискриминанте квадратичного характеристического уравнения (корни уравнения комплексно сопряженные).
Для последовательной RLC – цепи это соответствует ее добротности 
(сопротивление потерь 
, где 
– характеристическое сопротивление). При этом свободные колебания в цепи имеют частоту:
, (2.9)
где 
– резонансная частота цепи, а 
– коэффициент их затухания.
Сопротивление потерь 
добротность ( 
) соответствует критическому режиму для возникновения колебаний.
Классический метод применяют, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие после коммутации гармоническое или постоянное. Другим, применяемым для расчетов более сложных цепей является операторный метод, основанный на преобразовании Лапласа.
Это символический метод, в котором операции над функциями времени a(t) заменяются операциями над их символами (изображениями) – A(p). Взаимное соответствие между ними устанавливается с помощью прямого:
, (2.10)
и обратного
(2.11)
преобразований Лапласа и обозначается знаком соответствия a(t) 
A(p).
Здесь A(p) – изображение оригинала a(t) по Лапласу, p – оператор преобразования Лапласа или комплексная частота.
При использовании метода неизвестные i и u заменяют их операторными изображениями, а элементы цепи – их операторными схемами замещения. По операторной схеме цепи после коммутации составляется система алгебраических уравнений, решая которые находят операторные изображения искомых токов и напряжений. Далее, с использованием обратного преобразования Лапласа, определяются оригиналы для этих изображений. С использованием операторной схемы цепи определяют также операторные входные сопротивления и проводимости:
, 
, (2.12)
передаточные сопротивления и проводимости:
, 
, (2.13)
а также коэффициенты передачи по току и напряжению:
, 
. (2.14)
В теории линейных цепей реакцию на произвольное входное воздействие исследуют также посредством его представления суммой элементарных единичных функций Хевисайда:
(2.15)
и Дирака:
. (2.16)
При этом используется Теорема суперпозиции – свойство линейных инвариантных во времени цепей заключающееся в том, что реакция на сумму входных воздействий равняется сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Это позволяет ввести такие временные характеристики цепи, как переходная характеристика – реакция на функцию Хевисайда: 
и импульсная характеристика – реакция на функцию Дирака: 
. Реакция же цепи на сложное воздействие будет интегральной суммой (интегралом Дюамеля), содержащей переходную и импульсную характеристики:
,
. (2.17)
Здесь x(t) – воздействие на цепь, а y(t) – ее реакция.
Переходная и импульсная характеристики цепи могут быть определены с использованием классического метода анализа реакции на соответствующие входные воздействия, либо через операторный коэффициент передачи цепи:
. (2.18)
Приведенные соотношения используются при выполнении заданий 1-5 самостоятельной работы №2 и подробно обсуждаются в [2,3]. С примерами решения задач можно ознакомиться в [4, 6].
Варианты заданий
 Вариант №1 |
  |
 |
 |
 |
Вариант №  2 |
 |
 |
  |
 |
 Вариант №  3 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №  4 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №  5 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №  6 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №  7 | ||
 | ||
 | ||
  | ||
 |
начертить эквивалентную операторную схему. Найти изображения тока IC(p). Вариант №  8 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №  9 |
 |
 |
 |
 |
 Вариант №10 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №1  1 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №1  2 |
 |
| |
 |
 |
Вариант №1  3 |
 |
 |
 |
 |
Вариант №14  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №15  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №16  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №17  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №18  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №19  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №20  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №21  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №22  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №23  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №24  |
 |
 |
 |
 |
Вариант №25  |
 |
 |
 |
 |
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №3
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ