Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка содержат все основные, типичные черты уравнений -го порядка.
Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:
. (1)
Для него, как и для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, справедливы теоремы о частных решениях 1 и 2. То есть линейные комбинации частных решений также являются решениями и если известно одно или несколько решений, то можно понизить порядок на одну или более единиц.
Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется всякая система частных решений
, которая обладает следующим свойством: ни при каких
,
, одновременно не равных нулю, линейная комбинация
. (а)
В этом случае , удовлетворяющие (а), называют линейно независимыми.
Из определения ледует, что нулевое решение не входит в фундаментальную систему решений. Например, ,
. Тогда, положив
, …,
, получим
,
что противоречит определению фундаментальной системы решений. Таким образом, фундаментальная система решений не может содержать ни одного . При
новое определение тождественно старому.
Далее, вронскиниан фундаментальной системы решений (и только фундаментальной системы решений) отличен от тождественного нуля. Вронскиниан в общем случае имеет вид:
.
Формула Остроградского-Лиувилля также имеет место в общем случае:
.
Из нее также следует, что либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни при каком
. Первый случай соответствует не фундаментальной системе решений, второй – фундаментальной системе решений.
Существование фундаментальной системы решений доказывается аналогично дифференциальному уравнению 2-го порядка. Основная теорема устанавливает, что общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:
, где
.
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:
.
Теоремы о частных решениях справедливы и в эом случае. Также, как и метод Лагранжа вариации произвольных постоянных:
Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
,
, действительные числа.
Характеристическое уравнение:
.
Любому действительному -кратному корню
соответствуют решения:
,
,
.
Так как – действительные числа, то комплексные корни характеристического уравнения встречаются только сопряженными парами и имеют одинаковую кратность. Любой паре
кратности
соответствует
частных решений:
,
, …,
,
,
, …,
.
Таким образом, в общем случае решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:
,
где и
– кратности корней, а
,
,
– многочлены соответствующих степеней.
И, наконец, 2 теоремы о приведении к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Теорема 1.
Если линейное дифференциальное уравнение -го порядка
(*)
допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной вида
, то такой цели служит только подстановка
, где
.
Теорема 2.
Если (*) допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи подстановки , преобразующей неизвестную функцию
, то такое преобразование выполняется только, если положить
Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений приведение осуществляется по тем же формулам.