Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса

При растяжение (сжатие)

Для статически определимого ступенчатого бруса с жёстко защемлённым концом (см. схемы к задаче 2), нагруженного продольными усилиями Р12 , q1 и q2 (см. таб. 1.2), необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений для всех участков бруса из условия прочности по допускаемым нормальным напряжениям при растяжении и сжатии.

Таблица 1.2

Р1, кН Р2, кН q1, кН/м q2, кН/м
10 80 10 70
20 70 15 80
30 60 20 90
40 50 25 60
50 40 30 50
60 30 35 40
70 10 40 30
80 20 45 20
10 50 55 50
20 70 65 20

Принять для всех вариантов следующие соотношения: Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru , Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru , Е=105МПа, а=1м.

Схемы к задаче 2

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Схемы к задаче 2

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Схемы к задаче 2

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Пример решения задачи 2

Для ступенчатого бруса (см. рис.1.4,а) с жёстко защемлённым концом необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса из условия прочности по нормальным напряжениям, используя следующие числовые значения:

Р1=30 кН; Р2=20 кН; q2=20 кН/м; а=1м; Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru ; Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru ; Е=1,8×105МПа; F1=F; F2=2F; F3=3F.

Решение

1. Брус состоит из трёх участков. Границами участков являются сечения, к которым приложены внешние силы, или сечения, где изменяются размеры поперечных сечений.

Величину внутренних продольных усилий определим, используя метод сечений. При этом рассматриваем всё время правую отсечённую часть бруса.

Продольную силу N считаем положительной, если нагрузка, её создающая, вызывает растяжение рассматриваемого участка, т.е. направлена от рассматриваемого сечения. Нагрузка, вызывающая сжатие рассматриваемой части бруса, т.е. направленная к сечению, создаёт отрицательную продольную силу. В соответствии с расчётной схемой (рис. 2.1,а) аналитические зависимости для N будут иметь следующий вид:

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru тогда Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

После подстановки численных значений, получим:

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

На основании полученных значений строим эпюру продольных сил (рис.2.1,б).

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Рис. 1.4 Схема нагружения и эпюры N, σ и Δl для ступенчатого

статически определимого бруса

2. Эпюру нормальных напряжений s получим, разделив значения продольной силы N на соответствующие площади поперечных сечений бруса (рис. 1.4,в). Знак продольной силы N определяет и знак соответствующего нормального напряжения s.

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru , подставляя 2 крайних значения х2 будем иметь:

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

3. Из условия прочности по нормальным наибольшим напряжениям растяжения и сжатия определим параметр F, а затем площади поперечных сечений каждого участка бруса.

Из условия прочности по растягивающим нормальным напряжениям находим:

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru ,

отсюда Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

Из условия прочности по сжимающим нормальным напряжениям находим:

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru ,

отсюда Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

Окончательно выбираем параметр F=250мм2.

Определим площади поперечных сечений каждого участка:

F1=F=250мм2, F2=2F=500мм2, F3=3F=750мм2.

3. Зная площади поперечных сечений можно построить эпюру перемещений Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru (рис.1.4, г). Проще расчёт перемещений вести от заделки, т.е. за точку отсчёта брать сечение, перемещение которого равно 0.

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Т.к. уравнение для перемещения на втором участке содержит квадратичную функцию, то графиком функции перемещения на втором участке будет являться парабола, причём в сечении, где Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru парабола будет иметь экстремум. Приравняв уравнение для продольной силы Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru к 0, получим расстояние до этого сечения.

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

где Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru - расстояние до сечения, в котором Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru .

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Подставляя, полученное значение для Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru , получим значение экстремума на параболе:

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru

По найденным значениям Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса - student2.ru строим эпюру перемещений (рис.1.4, г).

Наши рекомендации