Задача 3. Расчёт статически неопределимого ступенчатого бруса
При растяжение (сжатие)
Для статически неопределимого бруса с жёстко защемлёнными концами, нагруженного продольной нагрузкой как показано на схеме к задаче 3 необходимо:
1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений 
и перемещений 
;
2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок,
Необходимые данные для решения задачи взять из таблицы 1.3.
Схемы к задаче 3
Схемы к задаче 3
Схемы к задаче 3
Таблица 1.3
| Вариант | Усилия | Длины участков | |||
| Р, кН | q,кН/м | l1, м | l2, м | l3, м | |
| 27 | 12 | 2 | 0,5 | ||
| 35 | 24 | 1,2 | 1,9 | 0,8 | |
| 53 | 46 | 1,3 | 1,8 | 1 | |
| 29 | 10 | 1,4 | 1,7 | 1,1 | |
| 37 | 22 | 1,5 | 1,2 | 1,2 | |
| 45 | 32 | 1,6 | 1,4 | 2 | |
| 10 | 30 | 1,7 | 1 | 1,8 | |
| 15 | 18 | 1,8 | 1,1 | 1,5 | |
| 25 | 20 | 1,9 | 1,2 | 1,2 | |
| 50 | 44 | 2 | 0,8 | 1 |
Пример решения задачи 3
Для ступенчатого бруса (см. рис. 1.5а) построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений ; подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок если Р1=3Р; Р2=2Р.
Решение
Задача один раз статически неопределима в силу плоской системы сил, действующих по одной прямой, для которой как известно можно составить только одно уравнение равновесия:
,
в котором два неизвестных: 
и 
.
Отбросим правую опору, заменив её действие на брус реакцией .
Перемещение сечения в точке В равно нулю, т.к. это сечение жёстко заделано. Используя принцип независимости действия сил, получим уравнение совместности деформаций:
Распишем эти деформации по закону Гука:
,
отсюда, после сокращения на а и EF, 
кН.
Рис. 1.5 Расчётная схема и эпюры для примера решения задачи 3
В соответствии с расчётной схемой рис. 1.5б аналитические зависимости N, и будут следующими:
Участок 1
кН ; 
; 
.
Подставим в уравнение для перемещения два крайних значения 
, после подстановки будем иметь:
.
Участок 2
кН; 
; 
.
Подставляя пределы получим:
.
Участок 3
кН; 
; 
.
Подставляя пределы получим:
.
На основании данных аналитических зависимостей строим эпюры N, и (рис. 1.5 в, г,д).
Построение эпюры перемещений может служить проверкой правильности решения задачи. Перемещение на участке 1 при z1=0 равно нулю, перемещение на участке 3 при z=a также должно равняться нулю, т.к. эти два сечения соответствуют жёсткому закреплению бруса, перемещения которых невозможны.
2. На эпюре нормальных напряжений найдём максимальное напряжение: 
.
Для определения площади поперечного сечения воспользуемся условием прочности по нормальным напряжениям:
.
Приравняв максимальное нормальное напряжение к допускаемому, определим площадь поперечного сечения F:
.
Таким образом, на участке 1 площадь поперечного сечения должна быть 
, а на участке 2 в два раза больше, т.е. 
.
Плоский изгиб
Изгиб называется плоским, если плоскость действия изгибающей нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения.
Если изгибающий момент Mx является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы 
изгиб называется поперечным.
Брус, работающий при изгибе, называется балкой.
Построение эпюр поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Qy и Mx определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.
Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения 
.
В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила 
.
Между поперечной силой и изгибающим моментом существует следующая зависимость:
,
то есть первая производная от изгибающего момента по длине участка равна поперечной силе.
Это соотношение в общем виде было получено Журавским и носит название теоремы Журавского.
На основании теоремы Журавского могу быть сформулированы правила проверки эпюр:
1. В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Qy должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.
2. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx должен быть скачок, равный по величине и по знаку приложенному моменту.
3. На участке, где приложена распределенная нагрузка, эпюра Qy является наклонной прямой (наклон по направлению действия нагрузки), а эпюра Mx - параболой, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.
4. На участках, где Qy > 0, Mx возрастает, на участках, где Qy< 0, Mx убывает, если Qy = 0 (эпюра пересекает нулевую линию), то эпюра Мx имеет экстремум.
5. В тех точках, где на эпюре Qy имеется скачок, на эпюре Мx будет излом.
6. Чем больше по модулю величина Qy , тем круче изменяется эпюра Мx.
7. На свободных концах балки изгибающий момент равен нулю.
Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении
.
Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений
