Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара

Методический комментарий

Окружность, круг, шар — это те геометрические объекты, которые учащимся хорошо знакомы как из курса математики, так и из реальной жизни. У учеников имеются также начальные представления о длине произвольной линии, площади фигуры произвольной формы, объёме тела. Поэтому в качестве введения достаточно сказать, что в математике есть специальные формулы, которые позволяют вычислять указанные в названии величины — длину окружности, площадь круга и объём шара.

Понятно, что это первый, пропедевтический этап знакомства с указанными формулами. Его цель — расширить круг прикладных умений учеников путём их знакомства с формулами принципиально новой природы, усилить связь обучения математике с реальной жизнью.

Изложение материала в учебнике начинается с описания эксперимента по нахождению отношения длины окружности к диаметру. Этот эксперимент должен проделать каждый ученик, например в качестве домашнего задания. У каждого ученика будет свой «круглый» предмет (чашка, кастрюля, пластина круглой формы и т. д.). Нужно предупредить учащихся о необходимости аккуратного выполнения измерений, о желаемой точности результата (достаточно найти первый знак после запятой). Затем результаты, полученные учащимися, надо выписать на доске. Важно подчеркнуть удивительность обнаруженного факта: у всех получилось число, близкое к числу 3.

Полезно, чтобы формулы длины окружности, площади круга и объёма шара, изображённые на специальном плакате, были вывешены в классе. Учащиеся на данном этапе могут их не запоминать. Но они должны увидеть некоторые их особенности: в каждую формулу входит число π; в формуле длины окружности буква r содержится в первой степени, в формуле площади
круга — во второй, объёма шара — в третьей.

Упражнения к пункту направлены на формирование умений вычислять по рассмотренным формулам. При записи цепочки вычислений приходится заменять точное значение величины приближённым значением (при замене числа π его приближённым значением, при округлении результата). Желательно, чтобы учащиеся понимали эту особенность выполняемых действий и осознанно использовали в соответствующих случаях знак приближённого равенства. В качестве образца рассуждений и записи решения можно использовать примеры из текста учебника.

Комментарий к упражнениям

В качестве приближённого значения числа π в ходе вычислений следует брать число 3,14. Заметим также, что учащимся не известны правила записи результата при выполнении действий с приближёнными значениями, поэтому в учебнике часто содержится указание, до какого разряда следует округлять ответ. При необходимости такое указание должен дать учитель.

670. Обратите внимание учащихся на приближённую формулу длины окружности. Её удобно использовать в бытовых расчётах, когда результат достаточно определить грубо.

675. Удобно ввести обозначения С₁ и С₂. Тогда С₁ = 2π · 2 = 4π,
С₂ = 2π · 4 = 8π. Формально надо было бы найти отношение С₂ к С₁, но и так понятно, что длина второй окружности в 2 раза больше.

Точно так же S₁ = π · 2² = 4π, S₂ = π · 4² = 16π. Площадь второго круга в 4 раза больше.

677. В качестве дополнительного задания можно предложить составить общие формулы, например для вычисления длины дорожки вокруг стадиона. Если обозначить длину дорожки буквой l, площадь стадиона буквой S, а диаметры полукруглых частей буквой d, то получим формулу l = πd + 2d. Можно записать и приближённую формулу: l ≈ 3,14d + 2d = 5,14d. (Это задание достаточно трудное.)

678. Площадь кольца равна разности площадей кругов с радиусами 5 см и 3 см: S = 25π – 9π. Далее ученики могут рассуждать по-разному: дважды подставить вместо π число 3,14, дважды выполнить умножение, а затем вычитание; или догадаться, что 25π – 9π = 16π, а уже затем выполнить подстановку. Следует дать указание: полученное числовое значение надо округлить до десятков. (Ответ: ≈ 50 см².)

680. Ответ: ≈ 280 см².

681. Задание трудное, оно только для сильных учеников. Задача похожа на задачу о площади кольца (см. упражнение 678), только здесь надо найти разность двух объёмов — апельсина с кожурой (радиус равен 4 см) и апельсина без кожуры (радиус равен 3 см). Ответ: несъедобной.

Что такое уравнение

Методический комментарий

Материал этого пункта — это своего рода введение в один из основных разделов курса алгебры «Уравнения». Его основная цель — знакомство с понятием уравнения, которое вводится в контексте перевода некоторого сюжета на математический язык. Подчеркнём, что уравнения здесь решаются только на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий; алгебраические приёмы будут рассмотрены в 7 классе.

Бо́льшая часть упражнений к пункту — это текстовые задачи, по условию которых надо составить уравнение, при этом решить составленное уравнение требуется не всегда (более того, при переводе условия задачи на математический язык учащиеся могут прийти к уравнению, алгоритмом решения которого они пока не владеют — неизвестное будет содержаться в обеих частях записанного равенства). Если рассматривать данный материал с точки зрения подготовки учащихся к овладению алгебраическим методом решения задач, то следует констатировать, что акцент здесь сделан на первом его шаге — составлении уравнения.

Комментарий к упражнениям

697. а) Учащиеся могут предложить разные варианты составления уравнения.

Если обозначить через х меньшее количество карандашей, то можно составить такое уравнение: х + (х + 5) = 27. Если обозначить через х большее количество карандашей, то получим уравнение х + (х – 5) = 27.

Можно рассуждать иначе. Пусть в одной коробке х карандашей, тогда в другой (27 – х) карандашей. Далее составляются разные уравнения в зависимости от того, что принято за х — большее или меньшее количество карандашей: х – (27 – х) = 5 или (27 – х) – х = 5.

При решении задач такого рода первый вариант предпочтительнее.

699. а) Обозначим через х возраст Юли, т. е. младшей девочки. Уравнение можно записать по-разному, например: 3х – х = 8 или х + 8 = 3х.

700. а) Обозначим через х количество бензина (в литрах) во втором баке. Для составления уравнения удобно записать таблицу:

	Первый бак	Второй бак
Было	2х	х
Стало	2х – 7	х + 3

Имеем уравнение 2х – 7 = х + 3.

Глава 9. Целые числа (14 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь	Дидактические материалы	Характеристика основных видов деятельности учащихся
9.1. Какие числа называют целыми		81—94 (с. 33—38)	—	Приводитьпримеры использования в жизни положительных и отрицательных чисел (температура, выигрыш—проигрыш, выше—ниже уровня море и пр.). Описывать множество целых чисел. Объяснять, какие целые числа называют противоположными. Записывать число, противоположное данному, с помощью знака «минус». Упрощатьзаписи типа –(+3), –(–3)
9.2. Сравнение целых чисел		95—101 (с. 38—40)	—	Сопоставлятьсвойства ряда натуральных чисел и ряда целых чисел. Сравниватьиупорядочивать целые числа. Изображать целые числа точками на координатной прямой. Использовать координатную прямую как наглядную опору при решении задач на сравнение целых чисел
9.3. Сложение целых чисел		102—104 (с. 40— 41)	О-36, П-26	Объяснять на примерах, как находят сумму двух целых чисел. Записывать на математическом языке свойство нуля при сложении, свойство суммы противоположных чисел. Упрощатьзапись суммы целых чисел, опуская, где это возможно, знак «+» и скобки. Переставлятьслагаемые в сумме целых чисел. Вычислять суммы целых чисел, содержащие два и более слагаемых. Вычислять значения буквенных выражений
9.4. Вычитание целых чисел		105—106 (с. 41—42)	О-37, П-27	Формулироватьправило нахождения разности целых чисел, записывать его на математическом языке. Вычислять разность двух целых чисел. Вычислять значения числовых выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «+» и «–», осуществлять самоконтроль. Вычислять значения буквенных выражений при заданных целых значениях букв. Сопоставлять выполнимость действия вычитания в множествах натуральных чисел и целых чисел
9.5. Умножение и деление целых чисел		107—119 (с. 42—47)	О-38, О-39, «Проверь себя», П-28, П-29, П-30	Формулироватьправила знаков при умножении и делении целых чисел, иллюстрировать их примерами.Записывать на математическом языке равенства, выражающие свойства 0 и 1 при умножении, правило умножения на –1. Вычислять произведения и частные целых чисел. Вычислять значения числовых выражений, содержащих разные действия с целыми числами. Вычислятьзначения буквенных выражений при заданных целых значениях букв. Исследовать вопрос об изменении знака произведения целых чисел при изменении на противоположные знаков множителей. Опровергатьс помощью контрпримеров неверные утверждения о знаках результатов действий с целыми числами
Обзор и контроль

Основные цели: мотивировать введение положительных и отрицательных чисел, сформировать умение выполнять действия с целыми числами.

Обзор главы. Выделение в начале изучения положительных и отрицательных чисел специального блока «Целые числа» позволяет на простом материале познакомить учащихся практически со всеми основными понятиями. В результате последующее изучение рациональных чисел является уже «вторым проходом» всех принципиальных вопросов, что облегчает восприятие материала и способствует прочности приобретаемых навыков.

Рассмотрение действий с целыми числами полезно предварить выполнением заданий из рабочей тетради, нацеленных на выработку умений использовать знаки «+» и «–» при обозначении величины, на создание содержательной основы для последующего изучения действий с целыми числами. Вообще особенностью принятого в учебнике подхода является широкая опора на жизненные ситуации: выигрыш — проигрыш, доход — расход и т. д. Роль формальных приёмов на этом этапе невелика.

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 5. Целые числа.

Пособие «Тематические тесты». Тест 10. Целые числа.

Какие числа называют целыми

Методический комментарий

Подходы к изучению данного материала существенно отличаются от принятых в школьных учебниках математики. Прежде всего вводится подготовительный этап, в ходе которого с помощью игровых упражнений учащиеся получают наглядно-интуитивные представления о положительных и отрицательных числах, включая сложение целых чисел с одинаковыми и разными знаками.

Основное дидактическое средство — игра с кубиками «Выигрыш — проигрыш» (кубики можно сделать из бумажных заготовок). Соответствующие упражнения приводятся в рабочей тетради (в разделе «Введение в целые числа»). Эти упражнения (как и остальные в этом разделе) следует выполнить с учащимися до того, как вы приступите к рассмотрению материала учебника.

При выполнении упражнений, в которых фактически выполняется сложение целых чисел, желательно приучать учащихся к рассуждениям вслух. Они могут быть, например, такими: «Запись (–5) + (+2) означает, что проигрышных очков выпало 5, а выигрышных — 2. Общий счёт проигрышный, так как проигрыш «перевешивает». Общий счёт равен –3».

Комментарий к упражнениям

708. Результаты можно сравнить с данными, приведёнными в географическом атласе мира.

Название горы	Высота над уровнем моря (м)	Название моря	Наибольшая глубина (м)
Эльбрус		Каспийское
Монблан		Чёрное
Этна		Красное
Олимп		Японское
Везувий

713. Сначала можно определить доход (убыток) для каждой картины:

+500 p., –1000 р., –2000 р., +2000 р., –500 р.,

а затем подвести итог: –1000 (р.).

715. С помощью знака «–» записывается число, противоположное данному.

716. Возможны такие рассуждения: а) записано число, противоположное числу +11, — это число –11; в) записано число, противоположное числу –7, — это число +7.

Сравнение целых чисел

Методический комментарий

К моменту изучения темы учащиеся должны правильно понимать и употреблять в речи термины: положительное число, отрицательное число, целые числа, противоположное число; замечать, что два данных числа (не равные нулю) либо числа одного знака, либо числа разных знаков.

Вопрос о сравнении целых чисел связывается с их расположением в ряду целых чисел, который предполагается изобразить на рисунке (схематично), а впоследствии можно представлять мысленно. Отработке навыка сравнения чисел способствуют упражнения из рабочей тетради, где всё внимание учащихся привлекается к существу рассматриваемого вопроса.

Комментарий к упражнениям

731. Ответ записывается в виде «фрагмента» ряда целых чисел:

б) –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

735. Ответ обязательно проиллюстрируйте числовым примером:

2) пусть а = –3, b = –2, т. е. а < b, тогда –а = – (–3) = 3, –b = – (–2) = 2,
3 > 2, т. е. –a > –b.

Сложение целых чисел

Методический комментарий

К изучению темы ученики подготовились в ходе предварительного этапа, когда они играли в игру «Выигрыш — проигрыш» с кубиками. Понятие модуля числа будет введено позже, здесь же предполагается, что учащиеся будут опираться на тот образ (выигрыш — проигрыш, или доход — расход, или какой-либо иной), который был сформирован на предварительном этапе. При выполнении серии упражнений 739, 740 основное внимание уделяется определению знака суммы в зависимости от знака слагаемых. Правильность усвоения материала проверяется в ходе рассуждений, которые ученики проводят при выполнении последующих упражнений.

Специальное внимание уделяется сложению с использованием переместительного и сочетательного законов сложения. Сначала выполняется упражнение из рабочей тетради, а потом похожие на него упражнения из учебника (749—751). Это поможет в дальнейшем восприятию выражений вида –3 + 4 – 8 – 11 + 2 как суммы, что весьма непросто для учащихся.

Здесь и далее в вычислениях с целыми и рациональными числами привлекается внимание к числовым подстановкам в буквенное выражение (упражнения 752, 754, 756).

Комментарий к упражнениям

739—744. Все данные числа — компоненты действия — записываются в скобках.

745. Это очень важное упражнение. Оно нацелено на формирование умений записывать сумму положительных и отрицательных чисел, опуская скобки там, где это возможно, а также понимать соответствующие записи. Полезно сопоставить такие записи: (+6) + (–7) и 6 + (–7), (–7) + (–3) и
–7 + (–3), (–8) + (+4) и –8 + 4. В первом случае положительное число записано без знака «+»; во втором случае отрицательное слагаемое, стоящее на первом месте, записано без скобок; в третьем случае первое отрицательное слагаемое записано без скобок, положительное слагаемое без знака «+» (знак «+» в выражении –8 + 4 — это знак действия сложения).

748. Решается подбором.

755. в) (–60) + (–59) + (–58) + ... + (–51) + (–50) + ... + (–1) + 0 + 1 + ... +
+ 50 = (–60) + (–59) + (–58) + ... + (–51) = ((–60) + (–51)) × 10 = –1110.

Вычитание целых чисел

Методический комментарий

Успех изучения темы определяется пониманием важной идеи — возможности замены действия вычитания действием сложения. Поэтому примеры, аналогичные представленным на с. 198—199 учебника, должны быть разобраны и записаны на доске и в тетради.

Упражнения 760—765 помогут освоить умение перейти от разности чисел к их сумме и закрепить навык сложения чисел с одинаковыми знаками и с разными знаками. Особое внимание уделяется «длинным» выражениям (766, 767, 769—772).

Комментарий к упражнениям

762. Здесь и далее полезна промежуточная запись, выполняемая одновременно с произносимым вслух правилом вычитания.

767. Упражнению предшествует заполнение таблицы, данной в рабочей тетради. Здесь учащиеся сначала называют положительные слагаемые и записывают их сумму, а затем называют отрицательные слагаемые и записывают их сумму.

771. Усложнение за счёт увеличения числа слагаемых.

772. а) Желательно заметить противоположные слагаемые –23 и 23, сумма которых равна 0, а затем найти сумму: 14 + (–37) + 56 + (–13) =
= 70 + (–50) = 20.