Буквенные выражения и числовые подстановки

Методический комментарий

Задания на вычисление значений буквенных выражений будут встречаться учащимися на протяжении всех лет обучения в школе по ходу введения новых выражений и изучения чисел новой природы. Такое внимание к заданиям подобного рода объясняется тем, что при их выполнении требуется владение целым комплексом знаний и умений. А именно: требуется понимание смысла символической записи, структуры данного выражения, владение понятием «допустимые значения букв», умение выполнить числовую подстановку и правильно записать получившееся числовое выражение, умение произвести вычисления над заданными числами. Заметим также, что задания на вычисление значений буквенных выражений полезны в качестве пропедевтики к изучению функций и просто для поддержания вычислительных навыков.

В данном пункте появляются основные термины, которые должны войти в активный словарь учащихся, и на примере разъясняется приём вычисления значения буквенного выражения. При рассмотрении примера следует обратить внимание учащихся на то, как изменился «внешний вид» выражения при замене букв числами: десятичную дробь мы заключили в скобки (как это принято при записи степени десятичной дроби); между множителями a и b восстановили точку — знак умножения. Полезно также подчеркнуть, что при выполнении числовой подстановки важно не забыть заменить числами все содержащиеся в выражении буквы. При этом одну и ту же букву заменяют одним и тем же числом (так, вместо буквы а мы дважды подставили 0,5).

Формирование умения правильно выполнить числовую подстановку и вычислить соответствующее значение буквенного выражения — главная практическая цель данного пункта. Заметим, что не следует усложнять эту задачу, предлагая учащимся выражения более сложной структуры, чем содержащиеся в учебнике (задания 633—635). Не нужно также усиливать вычислительную сторону заданий. Что касается понятия «допустимые значения букв», то пока речь идёт об осознании самой идеи: в выражение не всегда можно подставлять какие угодно числа; ограничения на числовые значения букв накладываются содержащимися в выражении действиями, а также условиями рассматриваемой ситуации (если речь идёт о составлении выражения по тексту сюжетной задачи). Отработка навыков на этом этапе не предполагается.

Комментарий к упражнениям

633—634. Желательно приучать учащихся вести запись цепочкой, как в рассмотренном примере. Промежуточные вычисления следует записывать, а не держать числа в уме. Отдельные действия в случае затруднений можно выполнять письменно в стороне.

636. Ученики не должны ограничиваться просто устным ответом. Так, в случае «б» следует записать равенство ас + bc = 11,2 и дать пояснение со ссылкой на распределительное свойство.

637. Нужно увидеть меняющийся компонент действия, именно его и следует заменить буквой.

641. Полезно дать дополнительное задание на вычисление, как в упражнении 639.

642. Не надо выполнять задание формально, путём решения соответствующего уравнения. Правильность ответа желательно проверять вычислением.

Формулы. Вычисления по формулам

Методический комментарий

Для учащихся формула — это буквенное равенство, которое описывает правило вычисления значений некоторой величины. Важно убедиться, что ученики осознают разницу между буквенным выражением и формулой. Формула (в отличие от выражения) состоит из двух частей, соединённых знаком «=». В её левой части записана буква, обозначающая величину, значения которой вычисляются по этой формуле, в правой — буквенное выражение, показывающее, какие действия и над какими числами надо выполнить.

Теоретическая часть пункта посвящена составлению нескольких важных формул: периметра и площади прямоугольника (в частности, квадрата), периметра треугольника (в том числе равностороннего), объёма параллелепипеда, а также пути при движении с постоянной скоростью. Правила вычисления указанных величин учащимся хорошо знакомы, и теперь надо от их словесной формулировки перейти к символической записи. При составлении формул (здесь и далее) можно идти «от конкретного к абстрактному», как это сделано в примерах 1 и 4, а именно: сначала записать выражение для вычисления рассматриваемой величины при числовых значениях исходных данных, а потом, обобщая, заменить их буквами.

Упражнения к пункту направлены на формирование умения составлять несложные формулы и вычислять по формулам (задания 651—654, 658—660, 663, 664), а также выражать одну из величин, входящих в формулу, через другие (задания 655—657, 661, 662).

На данном этапе следует стремиться к тому, чтобы ученики поняли принципиальную возможность использования формулы для нахождения любой из входящих в неё величин и могли бы делать это в простейших случаях (в формулах типа S = nt, A = M – m). При этом ученики могут действовать следующими способами: или выразить одну величину через другую, а затем выполнить числовую подстановку, или сразу подставить в данную формулу значения букв и после этого найти искомую величину. В любом из этих случаев для выражения из формулы какой-либо величины они могут опираться на правила нахождения неизвестных компонентов действий. Однако более полезно на данном этапе содержательное решение задачи. Например, чтобы выразить из формулы периметра треугольника P = a + b + c сторону b, ученик может рассуждать так: если известны периметр и две стороны треугольника a и с, то, чтобы найти сторону b, надо из периметра вычесть длины сторон a и с, т. е. b = P – a – c.

Комментарий к упражнениям

651. Ученики могут рассуждать по-разному. Например, так:
P = x + x + x + x + a + a = x · 4 + a · 2 = 4х + 2а. Или так: четыре стороны имеют длину, равную x, значит, в сумме их длины составляют 4x; две стороны имеют длину, равную а, и в сумме их длины составляют 2а. Отсюда
Р = 4х + 2а.

660. Задание трудное, здесь требуется своего рода «геометрическое видение».

а) Длины двух отрезков — вертикального и горизонтального — известны: это х и у. И нет никаких данных о том, каковы длины остальных отрезков. Но можно увидеть, что сумма длин двух горизонтальных отрезков равна у, а двух вертикальных равна х. Поэтому р = 2х + 2у.

б) Пусть ученики подпишут на рисунке длины вертикальных
отрезков — это а и х. Понятно, что сумма длин горизонтальных отрезков равна у. Таким образом, Р = 2х + 2у + 2а.