Прямая. части прямой. ломаная

Методический комментарий

Теоретическая часть пункта содержит достаточно много новых понятий и терминов, которые должны войти в активную речь учащихся. Целесообразно разбить её изучение на несколько этапов. Сначала нужно поговорить о прямой, её бесконечности, способах обозначения, выполнить с учащимися упражнения на построение, стремясь при этом к тому, чтобы они осознавали и некоторые факты — провести через отмеченную точку несколько прямых и понять, что таких прямых бесконечно много; провести прямую через две отмеченные точки и осознать, что такая прямая только одна; провести три попарно пересекающиеся прямые и понять, что точек пересечения тоже три. Затем можно перейти к фигурам, являющимся частью прямой: ввести понятия луча и отрезка и решить несколько связанных с ними задач, сравнить их свойства, способы обозначения. И только потом ознакомить учащихся с ломаной и выполнить задания на отработку этого понятия.

Обращаем ваше внимание на то, что поначалу учащихся при обозначении прямой двумя буквами обязательно должны отмечать на прямой и соответствующие им точки. Со временем точки можно будет не ставить, пояснив, что здесь подразумеваются любые две точки.

В задачах этого пункта отрабатывается понимание таких оборотов речи, как «точка лежит (не лежит) на прямой (луче, отрезке)», «точка лежит между точками», «точка принадлежит (не принадлежит) прямой (лучу, отрезку)», «прямая пересекает (не пересекает) прямую (луч, отрезок)».

Комментарий к упражнениям

22. Полезно использовать каркасную модель куба для демонстрации на ней называемых отрезков.

23. Дополнительный вопрос: сколько отрезков, равных отрезку АВ, одним из концов которых является точка А, а другой конец лежит в узле сетки, вы можете построить? Всего их 8.

25. 2) Задача достаточно трудная, поэтому в зависимости от возможностей класса можно ограничиться ответом на один первый вопрос или на два первых вопроса. Решение начинается с выполнения рисунка. Учитель должен предусмотреть, что рисунок потребует много места. Лучше всего каждому ученику дать лист нелинованной бумаги. Первый шаг: начертить три попарно пересекающиеся прямые и отметить точки их пересечения — светофоры (рис. 2, а).

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что точек пересечения прямых три, и сделать на доске соответствующую запись (рис. 2, в, верхняя строка). Второй шаг: провести четвёртую прямую, пересекающую три предыдущих (рис. 2, б). Учащиеся должны заметить, что число точек пересечения при этом увеличится на число пересекаемых улиц. Значит, число светофоров с четырьмя улицами равно трём «старым» светофорам и трём «новым» (вторая строка на рис. 2, в). Следующий шаг: провести пятую прямую, отметить новые точки пересечения, подсчитать их число и сделать соответствующую запись на доске. В несильном классе можно остановиться и на этом шаге. Если учащимся удалось подметить закономерность, то они могут продолжить вычисления для 6, 7, …, 10 улиц, уже не обращаясь к рисунку. Число светофоров с десятью улицами равно 45. (Для учителя укажем рекуррентное соотношение A_n = A_{n – 1} + (n – 1).)

26. 1) Куб можно спаять из 12, 6 и 4 одинаковых кусков проволоки.

2) Нет, цветные проволочки двух кубов спаяны различным образом.

В рабочей тетради есть задача о построении всех отрезков с концами в заданных четырёх точках. Полезно обратить внимание учащихся, что и в первом (ни какие три точки не лежат на одной прямой) и во втором случае (три из четырёх точек лежат на одной прямой) получили 6 отрезков. Чтобы подсчитать все отрезки, нужно провести, например, красным карандашом все отрезки с концом в точке K, синим — с концом в точке M, зелёным — с концом в точке L, жёлтым — с концом в точке N. Из каждой точки проведено по три отрезка, всего отрезков 3 · 4 = 12, но каждый отрезок проведён дважды, следовательно, отрезков 12 : 2 = 6.

Задачу можно решить и для большего числа точек.

Решение задач о точках и ломаной из рабочей тетради см. на рисунке 3.

Длина линии

Методический комментарий

В этом пункте можно выделить две составляющие: теоретическую и практическую. Теоретическая связана с развитием представлений учащихся об изменении величин. Здесь повторяются и расширяются сведения об единицах длины и впервые ставится задача измерения длины кривой. Практический аспект связан с непосредственным выполнением реальных измерений и построений, решением задач вычислительного характера и др. Следует обратить внимание на владение учащимися единицами длин, умение перейти от одних единиц к другим (такие задания есть в рабочей тетради).
В связи с этим можно несколько расширить их представления о соотношениях между единицами. В учебнике указано, что основная метрическая единица измерения длин — метр. Соотношения между метром и другими, связанными с ним единицами отражены в их названиях. Приставки в терминах «километр», «дециметр», «сантиметр», «миллиметр» означают увеличение или уменьшение основной единицы в 10, 100 или 1000 раз. Так, приставка «кило» означает увеличение в 1000 раз: 1 км = 1000 м. Приставка «деци» означает уменьшение в 10 раз (1 м = 10 дм), «санти» — в 100 раз
(1 м = 100 см), «милли» — в 1000 раз (1 м = 1000 мм). Полезно здесь и далее при изучении натуральных чисел предлагать упражнения типа: «Сколько сантиметров содержится в 3 м, 35 м, 5 дм, 28 дм?», «Сколько миллиметров содержится в 7 см, 15 см, 6 дм, 19 дм, 4 м?», «Выразите в метрах 3 км 200 м; в сантиметрах 7 дм 4 см», «Выразите в километрах 4000 м, 16 000 м».

Следует проверить, каждый ли учащийся умеет пользоваться линейкой для измерения длин отрезков. С этой целью можно использовать задания из рабочей тетради. Полезно также организовать практическую работу: дать каждому ученику заранее заготовленный лист нелинованной бумаги с изображёнными на нём отрезками и предложить провести измерения. Для проверки правильности выполнения измерений учащиеся меняются листами. После этого каждый ученик может предложить соседу построить отрезок заданной длины.

Обращаем внимание на то, что при изучении этого пункта формируется умение оценивать длину отрезка на глаз, а также практически важное представление о том, какие единицы измерения длин используются в тех или иных реальных ситуациях.

Кроме того, учащиеся должны понимать, что для откладывания отрезка данной длины можно использовать не только линейку, но и циркуль. Этому способствуют и упражнения из рабочей тетради.

Заметим, наконец, что через систему упражнений в этом пункте формируется важное для дальнейшего обучения представление о длине ломаной.

Комментарий к упражнениям

38. Построение можно, например, выполнить так. Сначала построить отрезок длиной 4 см: 10 – 3 – 3 = 4 (см). Затем построить отрезок длиной
5 см: 4 + 4 – 3 = 5 (см). И наконец, построить отрезок длиной 2 см:
5 – 3 = 2 (см). Будет интересно, если учащиеся предложат разные решения.

При выполнении задания следует строить реальные отрезки. При этом оговаривается, что на линейке можно использовать только метки «0», «3» и «10».

Окружность

Методический комментарий

При изучении этого пункта учащиеся должны, во-первых, усвоить термины, связанные с окружностью (центр окружности, диаметр, радиус), во-вторых, научиться пользоваться циркулем для вычерчивания окружности, в-третьих, осознать характеристическое свойство окружности — равноудалённость её точек от центра.

Учащиеся должны научиться выполнять различные задания на построение окружности: строить окружность заданного радиуса; радиусом, равным данному отрезку; с центром в заданной точке; проходящую через другую заданную точку и т. д.

Построив окружность и проведя пересекающую её прямую, учащиеся должны увидеть две точки пересечения и соединяющий их отрезок. А проведя прямую через центр окружности, они должны увидеть диаметр и осознать, что диаметр является отрезком наибольшей длины среди всех отрезков, соединяющих две точки окружности.

Следует, где это возможно, подчёркивать, что диаметр «составляется» из двух радиусов, и поэтому его длина равна двум радиусам. Здесь полезно построить окружность, диаметром которой является заданный отрезок (середину отрезка учащиеся находят измерением), а затем окружность с диаметром заданной длины.

Продолжается работа по воспроизведению заданных конфигураций. Полезно обратить внимание учащихся на то, что если узор составлен из окружностей, то для каждой окружности нужно найти её центр и определить, чему равен её радиус.

Комментарий к упражнениям

48. Сначала упражнение выполняется на глаз. Затем учащиеся измеряют диаметр круга и сравнивают его с длиной каждого отрезка.

Глава 2. Натуральные числа (13 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь, номер задания	Дидактические материалы	Характеристика деятельности учащихся
2.1. Как записывают и читают натуральные числа		1—10 (ч. 1)	О-1, О-2, П-1	Читатьизаписыватьмногозначные числа. Применять при записи больших чисел сокращения: тыс., млн, млрд. Представлять числа в виде суммы разрядных слагаемых. Читатьизаписывать числа в непозиционной системе счисления (клинопись, римская нумерация).Исследоватьчисловые закономерности. Работатьс источниками информации
2.2. Натуральный ряд. Сравнение натуральных чисел		11—20 (ч. 1)	О-3, П-2	Описыватьсвойства натурального ряда. Сравниватьиупорядочивать натуральные числа и величины (длину, массу, время). Переходить от одних единиц измерения величин к другим. Исследоватьчисловые закономерности. Записывать утверждения с использованием буквенной символики
2.3. Числа и точки на прямой		21—37 (ч. 1)	О-4, П-3	Чертитькоординатную прямую, изображатьчисла точкамина координатной прямой, определять координату отмеченной точки. Сравнивать и упорядочивать числа с опорой на координатную прямую
2.4. Округление натуральных чисел		38—40 (ч. 1)	О-5	Определять из данной информации, содержащей число с нулями на конце, какое значение оно выражает: точное или приближённое. Округлять натуральные числа по смыслу. Применять правило округления натуральных чисел. Участвовать в обсуждении возможных ошибок в ходе и результате выполнения заданий на округление чисел
2.5. Решение комбинаторных задач		1—6 (часть 2)		Решать комбинаторные задачи с помощью перебора всех возможных вариантов (комбинаций чисел, слов, предметов и др.). Моделироватьход решения с помощью рисунка, с помощью дерева возможных вариантов
Обзор и контроль		Использоватьпозиционный характер записи чисел в десятичной системе в ходе решения задач. Читатьизаписывать натуральные числа, сравниватьиупорядочивать числа. Изображать числа точками на координатной прямой. Округлять натуральные числа. Решать комбинаторные задачи с помощью перебора всех возможных вариантов

Основные цели: развить знания учащихся о десятичной системе счисления, умения читать, записывать и сравнивать натуральные числа; сформировать навыки округления натуральных чисел; познакомить с методом решения комбинаторных задач путём перебора возможных вариантов.

Обзор главы. Изложение материала начинается с сопоставления римской нумерации и десятичной системы счисления. Это позволяет более выпукло представить особенности записи чисел в десятичной системе, подчеркнуть преимущества позиционной нумерации, а также создать для данной темы своего рода историко-культурологический фон.

Из курса начальной школы учащимся известны алгоритмы чтения и записи натуральных чисел. Задача данного этапа состоит в совершенствовании этих навыков, в обучении работе с большими числами, содержащими классы миллионов и миллиардов. Учащиеся знакомятся со свойствами натурального ряда, узнают о возможности изображения чисел точками на прямой, при этом координатная прямая призвана играть роль наглядной опоры при решении задач на сравнение и упорядочивание чисел.

В этой главе положено начало изучению двух новых для учащихся разделов курса математики. Прежде всего это раздел «Приближения и оценки». Рассматривается вопрос об округлении натуральных чисел, вводятся такие термины, как «приближение с недостатком» и «приближение с избытком», оборот речи «приближение с точностью до…». Кроме того, здесь начинается изучение комбинаторики. Учащиеся знакомятся с естественным и доступным детям этого возраста методом решения комбинаторных задач путём перебора всех возможных вариантов (комбинаций). Этим методом удобно пользоваться в тех случаях, когда число вариантов невелико. В качестве специального приёма перебора рассматривается дерево возможных вариантов.

Система упражнений учебника, помимо достижения основных целей, обозначенных выше, позволяет также вспомнить единицы измерения величин (длины, массы, времени), соотношения между ними. Другая особенность ряда упражнений – это использование буквенной символики для обозначения чисел, которое усилится по мере продвижения по курсу. И наконец, ещё одной чрезвычайно важной особенностью системы упражнений является систематическое и последовательное включение заданий, при выполнении которых учащиеся должны рассуждать, обосновывать, пояснять свои действия. Иными словами, в содержании данной главы заложен большой потенциал для развития мышления и речи учащихся.

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 1. Натуральные числа.

Пособие «Тематические тесты». Тест 1. Натуральные числа.