Тема 7. Предел и непрерывность функции

Понятие предела функции в точке и на бесконечности на языке окрестностей: графическая интерпретация. Предел последовательности. Арифметические свойства пределов. Неопределенности и приемы их раскрытия. Непрерывность функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций. Использование непрерывности функции в точке для вычисления пределов. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на промежутке: свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке (теоремы Больцано - Коши, Вейерштрасса). Экономическая интерпретация непрерывности.

Модуль IV. Дифференциальное и интегральное исчисление функции

Одной переменной

Тема 8. Производная и дифференциал

Задачи, приводящие к понятию производной, определение производной; геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции, классификация положений касательных; понятие дифференцируемой функции. Дифференцирование результатов арифметических действий (производная суммы, произведения константы и функции, произведения функций, частного функций). Дифференцирование сложной функции, дифференцирование обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций, логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно. Производные высших порядков. Понятие дифференциала функции одной переменной.

Тема 9. Изучение поведения функции при помощи производной.

Критерий постоянства дифференцируемой функции, критерий монотонности дифференцируемой функции, локальный экстремум, определение промежутков выпуклости графика функции, точки перегиба; схема исследования свойств функции и построения ее графика. Определение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке (экстремальные задачи).

Тема 10. Интегралы

Определение неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла. Способы интегрирования. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, определение интеграла как предела интегральных сумм; геометрическая интерпретация определенного интеграла; формула Ньютона-Лейбница. Приложения определенного интеграла: механические, геометрические, экономические иллюстрации. Определение несобственного интеграла, классификация несобственных интегралов.

Модуль V. Теория вероятностей

Тема 11. Случайные события

Элементы комбинаторики (размещения, понятие факториала, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, перестановки, перестановки с повторениями); классическое, геометрическое, статистическое определения вероятности, свойства вероятности; классификация событий (достоверные, случайные, невозможные), диаграммы Эйлера-Венна; сумма и произведение событий, события совместные и несовместные, зависимые и независимые; вероятность суммы и произведения событий; основные формулы теории случайных событий (формулы Бернулли, полной вероятности, Байеса).

Понятие случайной величины, понятие дискретной случайной величины; закон распределения, функция распределения и ряд распределения случайной величины, числовые характеристики дискретной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение) и их свойства; виды распределения дискретных величин (распределение Бернулли, Пуассона, гипергеометрическое распределение), их числовые характеристики; вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал. Понятие непрерывной случайной величины; закон распределения, функция распределения и плотность распределения случайной величины и их графики, свойства функции распределения; числовые характеристики непрерывной случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение); виды распределения непрерывных величин (равномерное, показательное и нормальное распределения), их числовые характеристики; вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

Высшая математика для экономических специальностей: учебник для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2011. – 912 с.

Практикум по высшей математике для экономистов: учебное пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера - М.: ЮНИТИ, 2007. – 480 с.

Дополнительная литература

Владимирский, Б.М. Математика: общий курс: учебник для бакалавров естественнонауч. направлений – СПб.: «Лань», 2008. – 789с.

Данко, П.Е., Попов, А.Г., Кожевникова, Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. Пособие для втузов. -Т.1,2.- М.: Высшая школа, 1996.

Демидович, Б.П., Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. Пособие для вузов. – М.: АСТ: «Астрель», 2005. – 654с.

Зайцев, И.А. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1998.

Ильин, В.А. Аналитическая геометрия: учебник для вузов – СПб.: Лань, 2009.

Карасев, А.И., Аксютина, З.М., Савельева, Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов: учебное пособие для вузов. – Ч.1,2.- М.: Высшая школа, 1982.

Кастрица, О.А. Высшая математика. – М.: ЮНИТИ, 2003.

Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов.- М.: ИНФРА-М, 1999.

Красс, М.С. Математика для студентов экономических специальностей: учебн. пособие для вузов.- М.: ИНФРА-М, 1999.

Кузнецов, Б.Т. Математика: учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2004.

Малыхин, В.И. Математика в экономике: учебн. пособие для вузов.- М.: ИНФРА-М, 1999. – 356с.

Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред. В.И.Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 1999.

Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики: учебн. пособие для вузов / Под ред. А.И. Карасева, Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ, 1989.

Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебн. пособие для вузов / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2001.

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Целями выполнения контрольных заданий студентами являются: качественное усвоение теоретического материала программы по дисциплине, формирование и отработка умений и навыков применения теоретических положений курса к решению конкретных математических задач. При проверке преподавателем работы осуществляется контроль за качеством усвоения студентом разделов программы. Самостоятельное и ответственное выполнение контрольных работ позволит студенту закрепить материал, предложенный на аудиторных лекционных занятиях, что поможет достойно сдать итоговый экзамен по математике.

Содержание контрольных заданий соответствует программным требованиям по дисциплине, представлены задачи основных типов по темам.

При выполнении и оформлении контрольных работ по математике студент должен придерживаться следующих правил:

1. Контрольная работа должна быть выполнена в тонкой ученической тетради, на обложке которой обязательно следует указать: дисциплину, номер контрольной работы, фамилию, имя, отчество и номер зачетной книжки студента, факультет, форма обучения (заочное, очное, очно-заочное обучение), курс, номер учебной группы, наименование специальности или направления.

2. Контрольная работа предоставляется студентами заочного отделения в учебную часть института не позднее, чем за две недели до начала сессии.

3. Перед приведением решения каждого задания должна быть выписана его формулировка, указан номер задания в соответствии с нумерацией методического пособия. Решения должны быть записаны четко, аккуратно, лаконично. В заданиях, предполагающих получение числового результата, должен быть записан ответ.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, возвращаются студенту для переработки без проверки.

Студенту следует выполнять задания только своего варианта, задачи которого определяются номером зачетной книжки студента. Последняя цифра – номер варианта.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача №1. Решите систему линейных уравнений методом Крамера и сделайте проверку.

1. ,	2. ,
3. ,	4. ,
5. ,	6. ,
7. ,	8. ,
9. ,	10. .

Задача №2. Найдите предел функции:

1.	2.
3. , , ,	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задача №3. Найдите производную функции :

1. 1) 2) 3) 4) 5)	2. 1) 2) 3) 4) 5)
3. 1) 2) 3) 4) 5)	4. 1) 2) 3) 4) 5)
5. 1) 2) 3) 4) 5)	6. 1) 2) 3) 4) 5)
7. 1) 2) 3) 4) 5)	8. 1) 2) 3) 4) 5)
9. 1) 2) 3) 4) 5)	10. 1) 2) 3) 4) 5)

Задача №4. Вычислите значение производной функции в точке :

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задача №5. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке , сделайте чертеж:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задача № 6. Проведите исследование функции с помощью производной первого порядка и постройте ее график:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.

Задача № 7. Найдите неопределенный интеграл:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
	7.	8.
	9.	10.

Задача № 8

В первом ящике шаров, среди них белого цвета, остальные - красные. Во втором ящике шаров, среди них белого цвета, остальные – красные.

А. Из первого ящика во второй переложили один шар. Найти вероятность того, что шар, наудачу взятый после этого из второго ящика, окажется белым.

Б. Из каждого ящика взяли наугад по одному шару. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

В. Все шары переложили в один ящик, после чего наугад взяли четыре шара. Найдите вероятность того, что среди них ровно три белых.

Вариант

Задача № 9

Вероятность того, что клиент коммерческого банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0.04, а в период кризиса – 0.13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0.65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

2. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0.95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0.02. Вероятность реальной аварийной ситуации, как показывает статистика, 0.004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность того, что действительно была авария?

3. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от двух поставщиков. Первый поставляет 65% ЧИПов, второй – 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное (у первого поставщики 2% брака, у второго - 5% брака). Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятность того, что возвращенный для ремонта компьютер укомплектован ЧИПом от первого поставщика.

4. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0.67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0.42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар, равна 0.35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

5. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0.65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха будет равна 0.3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0.7. Чему равна вероятность успеха сделки?

6. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году 0.75, если экономика страны будет на подъеме; и вероятность этого же события составит 0.3, если экономика не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году 0.8. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?

7. Трем ученикам поручили изготовить однотипные бланки. Первый изготовил 40 штук, второй – 35, третий – 25. Первый ученик обычно портит 3%, второй – 2%, а третий 1% заготовок. Взятый наугад из общей кипы бланк оказался испорченным. Определите вероятность того, что это работа второго ученика.

8. Вероятность заболеть гриппом в период эпидемии для одного человека, не сделавшего прививку, составляет 0.5, а если сделать прививку, то возможность заболевания снижается до 0.3. В классе 30 учеников, из них привиты от гриппа только 10. Какова вероятность того, наугад взятый ученик класса заболеет в этом году гриппом?

9. В контрольной работе было 6 трудных и 14 легких вариантов. Вероятность того, что студент самостоятельно решит задачи трудного варианта, составляет 0.4, а легкого – 0.7. Студент, наудачу получив один вариант, справился с заданием. Какова вероятность того, что это был трудный вариант?

10. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2 : 3. Вероятность качественного ремонта для сапог 0.9, для туфель – 0.85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это сапоги?

Задача № 5

1. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа «шестерок», выпадающих при шести бросках игрального кубика. Найти вероятность того, что число выпавших «шестерок» при этом будет от двух до четырех.

2. Геологическая компания получила финансирование для проведения 4 геологоразведок. Вероятность успешной разведки составляет 0.5. Предположим, что разведку осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа успешных геологоразведок. Найти вероятность того, что как минимум 2 разведки принесут успех.

3. Вероятность попадания каждого снаряда в намеченную цель оценивается в 70%. Самолет производит бомбометание по объекту шестью снарядами. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа попавших снарядов в объект. Найти вероятность уничтожения объекта, если для этого достаточно четырех попавших в него снарядов.

4. В ходе проверки компании аудитор случайным образом отбирает 5 отчетов. При условии, что 50% счетов содержат ошибки, cоставьте ряд распределения и найдите числовые характеристики числа правильных счетов среди отобранных. Найдите вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой.

5. Производится 6 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0.4. Составить ряд распределения числа попаданий в цель, найти числовые характеристики. Определить вероятность поражения цели, если для этого достаточно пяти попаданий.

6. В ящике перепутаны клубнелуковицы гладиолусов двух сортов: белые и бордовые – в равных количествах. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа клубнелуковиц белых гладиолусов среди наудачу взятых пяти. Определить вероятность того, что как минимум две из взятых пяти будут клубнелуковицами белых сортов.

7. В городе 5 предприятий питания. У каждого риск банкротства в течение года составляет 20%. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа предприятий, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти вероятность того, что в течение года обанкротится не более одного предприятия.

8. Отчеты показали, что 50% посетителей банка приходят в него для уплаты коммунальных платежей. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа посетителей, пришедших внести платежи среди 6 человек, находящихся сейчас в очереди. Найти вероятность того, что как минимум пять из них пришли сюда по какой-либо другой причине.

9. В лотерее 100 билетов, среди которых выигрышными являются 20. Составить ряд распределения и найти числовые характеристики числа выигрышных билетов среди пяти купленных. Найти вероятность того, что выигрышными среди них являются не более двух.

10. По истечении некоторого времени использования, как показали наблюдения работников кафе, в среднем каждая пятая чашка оказывается треснувшей. Составить ряд распределение и найти числовые характеристики числа треснувших чашек из взятых наугад шести. Найти вероятность того, что не более двух чашек из взятых пяти с дефектом.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Действия с матрицами и их свойства.

2. Определитель квадратной матрицы и его свойства.

3. Обращение квадратных матриц с помощью определителя.

4. Метод Крамера решения СЛУ.

5. Уравнения прямой на плоскости.

6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми.

7. Расстояние между точками, координаты середины отрезка.

8. Эллипс: уравнение и свойства.

9. Гипербола: уравнение и свойства.

10. Парабола: уравнение и свойства.

11. Уравнения плоскости.

12. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

13. Операции над множествами и их свойства.

14. Экономические приложения элементарных функций.

15. Понятие предела функции в точке и на бесконечности.

16. Арифметические свойства пределов.

17. Основные неопределенности и приемы их раскрытия.

18. Понятие предела числовой последовательности.

19. Замечательные пределы.

20. Непрерывность функции в точке.

21. Классификация точек разрыва функции.

22. Определение производной.

23. Геометрический и экономический смысл производной.

24. Классификация положений касательных.

25. Производные основных элементарных функций.

26. Логарифмическое дифференцирование.

27. Производная функции, заданной неявно или параметрически.

28. Основные теоремы дифференциального исчисления.

29. Правило Лопиталя.

30. Использование производной для исследования свойств функции и построения ее графика.

31. Определение и свойства неопределенного интеграла.

32. Табличное интегрирование.

33. Метод замены переменной интегрирования.

34. Метод интегрирования по частям.

35. Интегрирование рациональных дробей.

36. Определение, свойства и вычисление определенного интеграла.

37. Классификация несобственных интегралов.

38. Случайные события: алгебра событий, определения вероятности.

39. Основные формулы теории случайных событий.

40. Дискретные случайные величины: способы задания, числовые характеристики, виды распределения.

41. Непрерывные случайные величины: способы задания, числовые характеристики, виды распределения.

Учебное издание

Авторы-составители:

БазановаСветлана Вениаминовна,

старший преподаватель

ИгнатьеваИрина Владимировна,

кандидат физико-математических наук, доцент

КозловЮрий Алексеевич,

кандидат юридических наук, доцент

МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

для студентов заочной формы обучения

по направлению подготовки

«Государственное и муниципальное управление»

(квалификация (степень) «Бакалавр»)

Подписано в печать 23.01.2012

Формат 60×90¹/₁₆. Бумага SvetoCopy

Гарнитура Times New Roman. Печ. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ № 41–12

Издательство ЧОУ ВПО «Института правоведения и предпринимательства»

(Санкт-Петербург)

196601, Санкт-Петербург, г. Пушкин, ул. Малая, д. 8