Нахождение одной и нескольких частей от числа

Данная тема изучается сразу же после изучения темы «Получение дроби».

Объяснение нового понятия следует начать с решения практической задачи, например: «От доски длиной 80 см отпилили ¼ часть. Какой длины доску отпилили?» Эту задачу нужно показать уча­щимся на предметных пособиях. Взять планку длиной 80 см, проверить ее длину с помощью метровой линейки, а затем спросить, как найти ¼ часть этой планки. Учащиеся знают, что планку нужно разделить на 4 равные части и отпилить одну четвертую часть. Отпиленный кусок планки измеряется. Его длина оказыва­ется равной 20 см. «Как получили число 20 см?» - спрашивает учитель. Ответ на этот вопрос вызывает у некоторых учащихся затруднение, поэтому надо показать, что раз планку делили на 4 равные части, то, следовательно, делили 80 см на 4 равные части. Запишем решение этой задачи: ¼ от 80 см составляет 80 см:4 = =20 см.

Нахождение нескольких частей от числа в школе VIII вида производится с помощью двух арифметических действий. В первом действии определяется одна часть от числа, а во втором - несколько частей. Например, надо найти ₃ от 15. Находим ⅓ от 15, 15:3=5; ⅔ больше ⅓ в 2 раза, поэтому 5 нужно умно- жить на 2. Находим ⅔ от 15, 5*2=10.

⅓ от 15 15÷3=5; ⅔ от 15 5×2=10.

Затем запись свертывается: 15÷3×2=10. Далее решаются задачи на нахождение нескольких частей от числа.

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ОДНОЙ ЕГО ЧАСТИ*

Работу над данной темой следует связать с задачами чисто практического содержания, например: «Известно, что ½ р. составляет 50 к. Чему равно все число? (Сколько копеек в целом рубле?)» Учащиеся знают, что целый рубль - это 100 к.

Если это известно, то зная, чему равна его 2 часть, они определят неизвестное число, ½ часть рубля, т. е. 50 к., умножаем на 2 (знаменатель дроби).

Таким образом рассматриваем решение еще ряда задач, связан­ных с определенным жизненным опытом и наблюдениями учащихся: «¼ м составляет 25 см. Сколько сантиметров в 1 м?»

Решение. 25 см ×4=100 см.

«На платье израсходовали 3 м материи, что составляет ⅓ всей купленной материи. Сколько материи купили?»

Р е ш е н ы е. 3 м × 3=9 м - это вся купленная материя.

Теперь надо убедиться, что ⅓ от 9 м составляет 3 м, т. е. выполнить проверку. ⅓ от 9 м мы находить умеем. Нужно 9 м÷3 = 3 м. 3 м - это ⅓ часть всей купленной материи. Значит, задача решена верно.

Когда учащиеся научатся решать задачи на нахождение числа по одной части, необходимо сопоставить решение этих задач с уже известными, т. е. с задачами на нахождение одной части от числа, выявляя сходство, различие в условии, вопросе и решении задач.

Только прием сравнительного анализа позволит отдифференциро­вать задачи этих двух видов и сознательно подойти к их решению.

Для сопоставления эффективнее всего, как показывает опыт, предлагать задачи с одинаковой фабулой:

«В классе 16 учащихся. Девочки составляют 4 часть всех

учащихся. Сколько девочек в классе?»

Решение

Найти ¼ от 16 учеников. 16 уч.÷4=4 уч.

О т в е т. В классе 4 девочки.

«В классе 4 девочки, что составляет ¼ часть всех учащихся класса. Сколько всего учащихся в классе?»

Решение

4 уч.×4 = 16 уч.

О т в е т. В классе 16 учеников.

Вопросы задания

1. Покажите систему изучения обыкновенных дробей.

2.Разработайте конспект урока, основной целью которого является озна­комление с получением дроби.

3. Раскройте методику ознакомления с алгоритмами сложения и вычита­ния обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

4. Составьте фрагмент урока по ознакомлению учащихся с сокращением дробей. На каком свойстве дробей основано правило сокращения дробей?

Глава 18
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
И ПРОЦЕНТОВ

С десятичными дробями учащиеся школы VIII вида знакомятся после изучения целых чисел и обыкновенных дробей.

Изучение десятичных дробей позволяет закрепить знания уча­щихся о целых числах, лучше осознать принцип десятичной сис­темы счисления, поместное значение цифр в числе, закрепить навыки выполнения арифметических действий, глубже осознать свойства, преобразования и действия с дробями вообще. Кроме того, это дает возможность обобщить знания учащихся о всех изученных числах.

Десятичные дроби чаще, чем обыкновенные, используются в жизни и имеют большое практическое применение. С десятичны­ми дробями учащиеся будут встречаться и в учебных мастерских, и на производстве, и в быту.

Последовательность изучения десятичных дробей такова: полу­чение и запись десятичных дробей, преобразование, сравнение, арифметические действия, запись чисел, полученных при измере­нии величин, в виде десятичной дроби и наоборот.

При изучении этой темы необходимо широко использовать наглядные пособия: квадрат, разделенный на 10 горизонтальных полос и на 100 равных клеток (каждая из полос обозначает 0,1, а каждая из клеток - 0,01 часть квадрата); отрезки, разделенные на 10 равных частей: метры, разделенные на дециметры, санти­метры и миллиметры; таблица классов разрядов и десятичных долей.

ПОЛУЧЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОВЕЙ

Успех усвоения десятичных дробей во многом зависит от зна­ния учащимися нумерации целых чисел, свойств десятичной системы счисления и десятичного соотношения мер метрической сис­темы (длины, стоимости, массы). Все эти знания необходимо вос­произвести в памяти учащихся перед тем, как переходить к изучению десятичных дробей.

Учитывая конкретность мышления умственно отсталых учащихся, понятие о десятичной дроби целесообразнее всего сформировать, используя знания учащихся о соотношениях метрической системы единиц измерения длины. В качестве наглядного пособия используется метр, разделенный на дециметры, сантиметры и миллиметры. Учащиеся вспоминают, что в 1 м содержится 10 дм, 100 см и 1000 мм. Теперь можно установить, какую часть метра составляет 1 дм, 1 см, 1 мм, и записать: 1 дм=¹/₁₀ м, 1 см=¹/₁₀₀ м, 1 мм=¹/₁₀₀₀ м, 1 м=¹/₁₀₀₀ км.

Таким образом повторяется соотношение единиц измерения стоимости и устанавливается, что 1 к. = ¹/₁₀₀ р. После повторения соотношения единиц измерения массы учитель на доске, а учащиеся в тетрадях записывают, что 1 г = ¹/₁₀₀₀ кг, 1кг. = ¹/₁₀₀₀ г, 1 ц = ¹/₁₀ т, 1 кг = ¹/₁₀₀ ц, 2 кг = ²/₁₀₀ ц, 7 м = ⁷/₁₀₀₀ км, 25 к.= ²⁵/₁₀₀ р.

Учитель просит учащихся записать подряд без наименования все дроби, которые получили, с тем чтобы обратить внимание на знаменатели этих дробей. Учащиеся на основе наблюдений уста­навливают, что у всех дробей знаменатели 10, 100, 1000, т. е. единица с одним или несколькими нулями. Учитель формулирует вывод: дробь, у которой знаменатель - единица с одним или несколькими нулями, называется десятичной дробью.

Далее учащимся предлагается записать под диктовку несколько дробей (¹/₅, ¹/₁₀, ⁶/₂₅, ⁷/₁₀₀, ⁸/₁₃, ⁷/₁₀, ³/₂₀, ¹/₃₀₀) и объяснить, как получилась каждая из дробей, а затем назвать и написать только десятичные дроби. При этом следует подчеркнуть общность в полу­чении обыкновенных и десятичных дробей: при получении десятич­ных дробей целое (единица) делится на 10, 100, 1000 и т. д. равных частей, т. е. на столько равных частей, сколько единиц в знаменателе. Например, чтобы получить дробь ⁷/₁₀, надо взять отрезок (единицу) и разделить его на 10 равных частей, а затем взять 7 таких частей (рис. 27).

Десятичная дробь может получаться и при измерении. Напри­мер, при измерении ленты длина ее оказалась равной 8 дм, или 80 см, а это составляет ⁸/₁₀ м, или ⁸⁰/₁₀₀ м. ⁸/₁₀ м и ⁸⁰/₁₀₀ м - десятичные дроби.

Письменная нумерация десятичных дробей тесно связана с нуме­рацией целых чисел, со свойствами десятичной системы счисления. Поэтому, прежде чем дать запись десятичных дробей, следует вспом­нить нумерацию целых чисел, повторить поместное значение цифры в числе. Например, в числе 111 цифра 1, стоящая на первом месте справа, означает 1 единицу; цифра 1, стоящая на втором месте спра­ва, означает 1 десяток; цифра 1, стоящая на третьем месте справа, означает 1 сотню.

Таким образом, каждая цифра, стоящая левее данной, обозначает единицы, которые в 10 раз больше данной.

Таким образом, выделяется главное свойство соседних разря­дов: единицы разряда справа в 10 раз меньше единиц разряда, находящегося от него слева. Если, например, разрядную единицу переместить слева направо, то она уменьшится в 10 раз. Справа от разряда единиц, за границей целых чисел, находится разряд, в 10 раз меньший, т. е. десятые доли, далее сотые, тысячные и т. д. Таким образом, место десятичных долей в таблице классов и разрядов определено.

Если рассматривать цифры в числе 111 слева направо, то каждая цифра, стоящая справа от данной, обозначает единицы, которые в 10 раз меньше данной. Запишем число 111 и обозначим разряды в этом числе.

Если справа от числа 111 написать цифру 1, то она будет обозначать число, в 10 раз меньшее, чем 1 единица. Это одна десятая доля единицы.

Если справа записать еще 1 единицу, то она будет меньше десятой доли в 10 раз и единицы в 100 раз. Это^. одна сотая доля единицы.

Целые	Доли целых
Сот.	Дес.	Ед.	Десятые	Сотые	Тысячные

В таблице целые числа от десятичных долей отделяются чер­той. На письме целая часть от дробной части отделяется запятой: 111, 1. Читается эта десятичная дробь так: сто одиннадцать целых одна десятая.

Если в дроби нет ни одной целой, то вместо нее пишется нуль. Например, обыкновенную дробь можно записать без знаменате­ля так: 0,1. Читается эта дробь так: нуль целых одна десятая.

Следует сравнить и запись обыкновенных и десятичных дробей:

Обыкновенные дроби		Десятичные дроби
Запись	Чтение	Запись	Чтение
3/10	Три десятых	0,3	Нуль целых три десятых
4 1/10	Четыре целых одна десятая	4,1	Четыре целых одна десятая

Объяснить запись десятичной дроби можно, используя числа, полученные от измерения. Сначала взять числа с соотношением между крупными и мелкими мерами, равными 10, затем 100, наконец 1000.

Например, 1 см 5 мм можно записать с одним наименованием, рассуждая следующим образом: в числе 1 см 5 мм есть 1 целый сантиметр и 5 мм, которые составляют 5 десятых сантиметра, т. к. 1 мм равен одной десятой сантиметра. Это число можно записать десятичной дробью: 1, 5 см, т. е. написать целое число сантиметров (1) поставить запятую, а 5 десятых сантиметра, т. е. десятые доли сантиметра пишутся после целых (после запятой).

Знаменатель 10 не пишется, но читается: одна целая пять десятых сантиметра. После записи чисел с соотношением между мерами измерения, равным 10, аналогично объяснить запись чисел полу­ченных от измерения с соотношением мер, равным 100 (затем 1000) и запись этих чисел десятичной дробью.

Например, 3 р. 25 к.=3,25 р. (в одном рубле 100 копеек, значит 25 к. – это 25 сотых частей рубля: записывается целое число 3, ставится запятая, а после нее пишется 25 сотых, т. е. 3,25 р., знаменатель не пишется, но читается. 10 р. 08 к.=10,08 р., 1 ц 05 кг=1,05 ц и т. д.

Аналогично записываются десятичной дробью именованные числа с соотношением мер, равным 1000. Например, 1 кг 375 г=1,375 кг, 5 кг 085 г=5,085 кг, 7 т 004 кг = 7,004 т.

При записи десятичных дробей используют разрядную сетку, в которой указаны десятичные доли.

Целые числа	Десятичные доли
Ед. тыс.	Сотни	Десятки	Единицы	Десятые	Сотые	Тысячные

Разрядная сетка помогает правильно записывать десятичные дроби, например: 17,8; 4,76; 375,6; 18 875 и т. д.

Наибольшую трудность для учащихся представляет запись десятичных дробей (так же как и целых чисел) с отсутствующими разрядными долями, например: 19,07; 25,905; 27,009. Поэтому эти дроби даются для записи только тогда, когда учащиеся хорошо усвоят запись дробей с наличием всех разрядных долей, могут объяснить, как называется каждая разрядная доля, на каком месте справа от запятой она стоит, поймут, что каждая последую­щая доля в 10 раз меньше предыдущей (если имеет одно и то же число долей). Например, 5 сотых в 10 раз меньше, чем 5 десятых, а 5 тысячных в 10 раз меньше, чем 5 сотых.

При знакомстве с письменной нумерацией десятичных дробей необходимо обратить внимание учащихся на то, что после запятой в десятичной дроби должно стоять столько знаков, сколько нулей в знаменателе дроби. Например, надо записать дробь семь целых восемь сотых. Знаменатель дроби 100, т. е. имеет два нуля. Следовательно, после запятой должно быть два знака, произносится же только один знак (число 8), значит, сразу после запятой надо написать нуль: 7,08. На особенность, которую мы используем при записи десятичных дробей, следует обратить внимание учащихся и при их чтении.

При чтении десятичных дробей учащиеся школы VI11 вида затрудняются в назывании знаменателя десятичной дроби. Они либо его не называют (например, дробь 0,375 читают так: нуль целых триста семьдесят пять), либо вместо тысячных говорят десятые, сотые (нуль целых триста семьдесят пять сотых, десятых).

Чтобы снять эту трудность при чтении десятичных дробей, следует показать учащимся, что если после запятой стоит один знак (цифра), то знаменатель этой дроби - единица с одним нулем, т. е. десять, и нужно добавлять слово «десятых» (соответ­ственно указать на дроби с сотыми и тысячными долями).

СРАВНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Начинать сравнение десятичных дробей следует с дробей со знаменателем 10, например 0,3 и 0,5. Сначала нужно каждую из этих дробей показать на метровой линейке, разделенной на дециметры. Известно, что

1 дм - это 0,1 м 9 дм<5 дм, значит,

3 дм - это 0,3 м 0,3 м<0,5 м

5 дм - это 0,5 м 0,3<0,5

Далее следует каждую из этих дробей сравнить с помощью любого отрезка (рис. 28).

Легко сравнить эти десятичные дроби, если записать их со знаменателями: ⁵/₁₀ и ³/₁₀. Как сравнить обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями, учащиеся знают: ⁵/₁₀ > ³/₁₀.

После рассмотрения еще нескольких пар десятичных дробей на конкретных примерах можно подвести учащихся к выводу: из сравниваемых десятичных дробей та дробь больше, у которой число целых больше; если же целые равны (например, в дробях 0,3 и 0,5), то сравниваются десятые доли, и тогда та дробь боль­ше, у которой число десятых долей больше.

По аналогии с десятичными дробями со знаменателем 10 сравниваются десятичные дроби со знаменателем 100 (0,08 и 0,05) и со знаменателем 1000 (0,007 и 0,004).

В качестве пособий для сравнения дробей со знаменателем 100 можно использовать метр, деленный на сантиметры, или квадрат, деленный на 100 клеток:

1 см=0,01 м 0,008>0,005

8 см=0,08 м 0,08>0,05

5 см=0,05 м

После усвоения этого материала для сравнения можно предъявлять десятичные дроби с различными знаменателями:

0,7 и 0,13 0,08 и 3,1

0,08 и 0,1 7,3 и 7,119

Если учащиеся затрудняются сравнивать дроби, то следует прибегнуть к использованию наглядных пособий, которыми в дан- ном случае служат меры длины, стоимости, массы, а также отрезки и квадраты, или привести дроби к общему знаменателю. Сравнивать нужно равные десятичные дроби, но имеющие различное написание, например: 0,3 и 0,30. Что эти дроби равны, учащиеся могут убедиться с помощью метровой линейки или квадрата, разделенного на 100 равных клеток.

0,3 м = 3 дм

Отсюда следует, что 0,3=0,30.

0,30 м = 3 дм

0,1=0,10 (так как каждая полоса - это 0,1, а каждая клет­ка - это 0,01); 0,3=0,30; 0,5=0,50 и т. д.

На подобных примерах учащиеся убеждаются, что десятые доли могyт быть выражены в сотых и, наоборот, сотые - в десятых долях. Это закрепляется с помощью упражнений, например таких:

Сколько десятых долей в 1 м? Чему равна одна десятая доля метра? Сколько сотых долей в 1 м? Чему равны 10 сотых метра?

0,1 м=0,10 м

0,1=0,10

Чему равны 4 десятых метра? Чему равны 40 сотых метра?

0,4 м=0,40 м

0,4=0,40

Сколько десятых в 0,1; в 0,10?

Сколько десятых в 0,8; в 0,80?

Сравнение сотых и тысячных, десятых и тысячных долей проводится так же, как сравнение десятых и сотых долей. На конкретных примерах (с мерами длины, стоимости, массы), а затем и путем отвлеченных рассуждений учащиеся убеждаются, что, на­пример, 0,1=0,10=0,100; 0,7=0,70=0,700 и т.д. и, наоборот, 0,10=0,1; 0,70=0,7 и т. д.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что нули, приписанные В ДОЛЯХ дроби справа от значащей цифры, не влияют на дробь. Отсюда можно подвести учащихся к понятию о сокращении десятичных дробей.