Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Исследование, проведенное Алышевой Т.В.¹, свидетельствует о целесообразности при изучении действий сложения и вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями использовать аналогию со сложением и вычитанием уже известных учащимся чисел, полученных в результате измерения величин, и проводить изучение действий дедуктивным методом, т. е. «от общего к част­ному».

Сначала повторяется сложение и вычитание чисел с наименованиями мер стоимости, длины. Например, 8 р. 20 к. ± 4 р. 15 к. При выполнении устного

______________________________________________________________________

А л ы ш е в а Т. В. Изучение арифметических действий с обыкновенными дробями учащимися вспомогательной школы //Дефектология.-1992.- N4 4.­С. 25-27.

сложения и вычитания нужно склады­вать (вычитать) сначала рубли, а потом копейки.

3 м 45 см ± 2 м 24 см - сначала складываются (вычитаются) метры, а потом сантиметры.

При сложении и вычитании дробей рассматривается общий случай: выполнение этих действий со смешанными дробями (знаменатели одинаковые): 3⁴/₅ ±1¹/₅. В этом случае надо: «Сложить (вычесть) целые числа, затем числители, а знаменатель остается тем же». Это общее правило распространяется на все случаи сложения и вычитания дробей. Постепенно вводятся частные случаи: сложение смешанного числа с дробью (1²/₇ + ⁴/₇ = 1⁶/₇) , потом смешанного числа с целым (1²/₇ + 4 = 5²/₇) . После этого рассматриваются более трудные случаи вычитания: 1) из смешанного числа дроби: 4⁵/₉ - ⁴/₉ = 4¹/₉; 2) из смешанного числа целого: 4⁵/₉ -2=2⁵/₉.

После усвоения этих достаточно простых случаев вычитания учащиеся знакомятся с более трудными случаями, когда требуется преобразование уменьшаемого: вычитание из одной целой едини­цы или из нескольких единиц, например:

1-³/₅=⁵/₅ - ³/₅=²/₅; 3 - ³/₅=2⁵/₅ - ³/₅ = 2²/₅.

В первом случае единицу нужно представить в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого. Во втором слу­чае из целого числа берем единицу и также ее записываем в виде неправильной дроби со знаменателем вычитаемого, получаем в уменьшаемом смешанное число. Вычитание выполняется по обще­му правилу.

Наконец рассматривается наиболее трудный случай вычитания: из смешанного числа, причем числитель дробной части меньше числителя в вычитаемом: 5¹/₅ - ³/₅. В этом случае надо уменьшаемое изменить так, чтобы можно было применить общее правило, т.е. уменьшаемом занять из целого одну единицу и раздробить в пятые доли, получим 1=⁵/₅, да еще ¹/₅, получится ⁶/₅, пример примет такой вид: 4⁶/₅ - ³/₅, к его решению уже можно применить общее правило.

Использование дедуктивного метода обучения сложению и вычитанию дробей будет способствовать развитию у учащихся умения обобщать, сравнивать, дифференцировать, включать отдельные слу­чаи вычислений в общую систему знаний о действиях с дробями.

2. Сложение и вычитание дробей и смешанных чисел с разными знаменателями*.

а) больший знаменатель является НОЗ:

1) ½ + ³/₈ , ⁷/₈ - ¼ ; 2) 1³/₄ + ⁷/₈, 4³/₅ + ⁷/₁₀; 3) 2⁷/₈ + 5¹/₂, 8¹/₆ - 5²/₃ .

б) больший знаменатель не является НОЗ:

1) ³/₅ + ⁴/₇, ⁷/₈ - ²/₉; 2) 1³/₅ + ⁷/₈, 1³/₅ - ²/₃; 3) 4²/₃ + 1¹/₅, 5³/₄ – 2²/₃.

5³/₄ – 2²/₃ = 5⁹/₁₂ – 2⁸/₁₂ = 3¹/₁₂.

Выполнение сложения и вычитания дробей, имеющих разные знаменатели, представляет значительные трудности для умственно отсталых школьников, так как, прежде чем выполнять действия, тре­буется привести дроби к наименьшему знаменателю, в связи с чем внимание учащихся переключается на дополнительную операцию (удлиняется запись выражения - требуется несколько раз перепи­сывать выражение, ставя знак равенства). Это требует от учащихся сосредоточенности внимания. А внимание учащихся с нарушением интеллекта характеризуется, как известно, отвлекаемостью, рассеянностью. Это нередко приводит к потере целых, знака равенства, а то и ком­понента. Чтобы избежать подобных ошибок, можно на первых порах предложить учащимся запись выражения проговорить устно, а именно сказать, какие операции надо выполнить и в какой последовательности: 1) привести дроби к наименьшему знаменателю; 2) выполнить дейст­вие; 3) произвести, если нужно, преобразование в ответе.

При выполнении сложения дроби со смешанным числом надо обратить внимание учащихся на значение суммы и каждого слагаемого, сравнив со свойством суммы целых чисел.

То же самое необходимо сделать и при знакомстве с вычитанием дро­бей, подчеркнув общность свойств разности целых и дробных чисел.

Для этого целесообразно решить и сравнить пары примеров на нахождение суммы и разности целых и дробных чисел:

396 + 127 400 – 196

⁴/₅ + ³/₅, 1³/₁₀ + 5¹/₁₀ ⁷/₁₀ - ³/₁₀, 7⁷/₁₅ – 6⁴/₁₅

Вывод: сумма больше каждого из слагаемых, разность меньше или равна уменьшаемому.

Сложение и вычитание дробей необходимо связать с жизненно‑практическими заданиями и упражнениями, которые могут быть выполнены и устно. Например:

«На отделку блузки отрезали ¹/₄ м белой и ¹/₄ м синей тесьмы. Сколько тесьмы пошло на отделку блузки?»

«От рейки длиной 2 м отпилили один кусок длиной ³/₄ м и второй -длиной ¹/₄ м. Какова длина оставшейся рейки?»

Отметим, что в этих задачах даны числа, полученные от измерения величин. Это позволяет закрепить в памяти учащихся наи­более употребительные в повседневной жизни соотношения:

½ м - это 50 см, ¼ м - это 25 см, ¹/₅ м - это 20 см, ¼ ч – это 15 мин и т.д.

В этот период следует решать с учащимися примеры на нахож­дение неизвестных компонентов сложения и вычитания, сопостав­ляя нахождение неизвестных компонентов сложения и вычитания дробных и целых чисел.

Учащиеся должны убедиться, что переместительный и сочета­тельный закон арифметических действий над целыми числами распространяются и на действия над дробными числами. Так же как и при изучении действий с целыми числами, учащиеся получают лишь практическое знакомство с законами - их использование для рационализации вычислений. Например, решить пример ³/₄+2 удобнее, переставив местами слагаемые, т. е. использовав переместительный закон сложения.

Решение примеров с предварительным обдумыванием порядка выполнения действий развивает сообразительность, смекалку, предупреждает шаблонность и имеет большое корригирующее значение.

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ*

В школе VIII вида рассматривается только умножение и деление дробей и смешанных чисел на целое число. Изучение этих действий, так же как и изучение сложения и вычитания, дается параллельно.

Для удобства изложения мы сначала рассмотрим методику зна­комства с умножением дроби на целое число, а затем с делением дроби на целое число.

Прежде чем знакомить учащихся с умножением дроби на целое число, необходимо повторить умножение целых чисел.

При рассмотрении умножения дроби на целое число необходи­мо соблюдать определенную последовательность разных случаев, которая определяется степенью их трудности.

1. Умножение дроби на целое число.

2. Умножение смешанного числа на целое.

Подготовительными заданиями к объяснению умножения дроби на целое число являются задания на умножение целых чисел с последующей заменой действия умножения действием сложения, например: заменить умножение 7×3=21 сложением 7+7+7=21; заменить действие умножения (первый множитель - дробь ¹/₈; второй множитель - целое число) действием сложения ¹/₈×3=¹/₈+¹/₈+¹/₈ = ³/₈.При этом обращается внимание на числитель и знаменатель произведения и первого множителя. С помощью во­просов: «Изменился ли знаменатель дроби при умножении? Что произошло с числителем дроби?» - учащиеся приходят к выводу, что числитель увеличился в 3 раза, а знаменатель не изменился. Для вывода правила умножения дроби на целое число недостаточ­но ограничиться рассмотрением только одного примера, нужно рассмотреть еще несколько примеров:

Правильность ответов в этих примерах необходимо подтвер­дить демонстрацией рисунков.

В рассмотренных примерах внимание учащихся надо обратить на то, что в числителе сумму одинаковых слагаемых (трех двоек) можно заменить произведением (2×3). Это позволит подвести их к более сокращенной записи: ²/₇ × 3 = 2*3/7 = ⁶/₇ а следовательно, и к выводу правила. Кроме того, при умножении дроби на целое число получается произведение, большее первого множителя. После усвоения правила умножения дроби на целое число необходимо показать учащимся, что до умножения числителя на целое число надо сопоставить эти числа со знаменателем и, если у них есть общий делитель, разделить на него и только потом произвес­ти умножение. Такой прием предварительного сокращения чисел, записанных в числителе и знаменателе, облегчает вычисления, например: ⁴/₅ × 10 = 4*10/5 = ⁴⁰/₅ = 8. Это же действие выполним с предварительным сокращением числителя и знаменателя на общий делитель:

Дети с интеллектуальным недоразвитием редко прибегают к рациональным приемам вычисления, используя, как правило, только те приемы, которые стали стереотипными. Поэтому учителю надо иногда просто требовать, чтобы учащиеся использовали ра­циональные способы действий.

Перед объяснением умножения смешанного числа на целое необходимо повторить умножение чисел, полученных при измерении величин, вида 15 р. 32 к. * 3. Сначала следует дать подробную запись при решении этого примера: 1 р. =100 к.

15 р. =100 к. * 15=1500 к. _× 1532 к.

1500 к. + 32 к. =1532 к. 3

4596 к.

Однако тут же надо показать, что некоторые примеры легче решать в уме, умножая отдельно число рублей и копеек.

При умножении смешанного числа на целое обращается внимание на то, что смешанное число надо выразить (записать) в виде неправильной дроби, а затем выполнять умножение по правилу умножения дроби на целое число, например:

(Сопоставить с умножением 15 р. 32 к. на целое число 3.)

Недостатком этого способа вычислений является его громоздкость: большие числа, которые получаются в числителе, затрудняют вычисления. Однако у этого способа есть и преимущество: в дальнейшем, когда учащиеся будут знакомиться с делением смешанного числа на целое, перед выполнением действия им потребуется выразить смешанное число неправильной дробью.

Наиболее сильным учащимся можно показать и второй способ умножения смешанного числа на целое (без записи смешанного числа неправильной дробью), например:

(Сопоставить с умножением чисел, полученных от измерения величин, устно: 15 р. 32 к. * 3=45 р. 96 к.)

В этом случае умножается целое число на целое, полученное произведение записывается целым числом, затем умножается дробная часть числа по правилу умножения дроби на целое число. При изучении темы «Умножение дроби на целое число» следует решать примеры и задачи на увеличение дробив несколько раз. Необходимо показать учащимся, что пример ²/₇ *3 можно прочитать по-разному: ²/₇ умножить на 3, ²/₇ увеличить в 3 раза, найти произведение ²/₇ и 3; множители ²/₇ и 3, найти произведение. После решения примера ²/₇ * 3 = ⁶/₇ следует сравнить произведение и первый множитель: ⁶/₇ больше ²/₇ в 3 раза, ²/₇ меньше ⁶/₇ в 3 раза.

Надо решать примеры и с неизвестным числителем или знаменателем в первом множителе вида: ^□/₃ ×2 = ²/₃ , ²/_□ × 2 = ³/₄.

Можно предложить и более трудные примеры вида:

1) ;

2) Дробь ¹/₅ увеличить в 3 раза.

Деление дроби на целое число дается в следующей последо­вательности:

1. Деление дроби на целое число без предварительного сокра­щения.

2. Деление смешанного числа на целое число без предваритель­ного сокращения.

3. Деление с предварительным сокращением.

Учащимся необходимо показать и такие случаи деления дроби или смешанного числа на целое, когда предварительное сокраще­ние облегчает процесс выполнения действия. Например:

На основе наблюдений и конкретной деятельности учащиеся подводятся к выводу: при делении дроби на целое число доли становятся мельче, число же долей не изменяется. Например, если взять половину яблока и разделить эту половину на 2 равные части (½ ÷ 2) , то получится по ¼ яблока. Записываем: ½÷2 = ¼.

Каждый ученик должен самостоятельно половину круга (полоски, отрезки) разделить на 2 равные части и записать результат деления.

Далее рассматривается деление, например, ⅔ на 3 равные части: ⅔ ÷ 3=9. Учащиеся видят, что получились при делении девятые доли, а число их не изменилось. Сравниваются числитель и знаменатель частного и делимого: знаменатель увеличился в 3 раза, а числитель не изменился. Отсюда можно сделать вывод: чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель умножить на это число, а числитель оставить тот же. На основе правила решается пример: ¼ ÷ 2=₄¹₂=⅛. Затем на предметах учащиеся должны еще раз показать процесс пример решен верно.

Деление дроби на целое число необходимо сопоставить с умножением дроби на целое число, решая взаимно обратные примеры вида При этом следует сравнить произведение и частное соответственно с первым множителем и делимым. Это надо для того, чтобы учащихся подвести к обобще­нию: при умножении дроби на целое число произведение во столь­ко раз больше первого множителя, сколько единиц содержится во втором множителе. Аналогичный вывод нужно сделать и для част­ного.

Деление смешанного числа на целое дается по аналогии со вторым способом умножения смешанного числа на целое, например: Смешанное число обращается в неправильную дробь и деление производится по правилу деления дроби на целое число.

Наиболее сильных учащихся нужно познакомить и с особыми случаями деления. Если целая часть смешанного числа нацело делится на делитель, то смешанное число не обращается в неправильную дробь, например: 22:2=14. Нужно делить сначала целую часть, результат записать в частное, затем делить дробную часть по правилу деления дроби на целое число: 2½ ÷ 2 = 4²/₁₅. В этом случае деление смешанного числа нужно показать на предметных пособиях. После изучения всех четырех действий с обыкновенны­ми дробями предлагаются сложные примеры со скобками и на порядок действий.