Действия над, числами, полученными от измерения величин

Действия над числами, полученными в результате измерения величин, подчиняются тем же законам, что и действия над числа­ми в пределах 100, 1000 и многозначными числами.

Действия над числами, полученными от измерения величин, опираются на знание учащимися единиц измерения и их соотношение, а также умение выразить одни меры другими.

Школьники с нарушением интеллекта не всегда учитывают своеобразие этих чисел и нередко буквально переносят на них правила действий над многозначными числами, что нередко приво­дит к многочисленным ошибкам.

Например: 30 см+5 мм=35 см (или 35 мм)

25 см-5 мм=20 см (или 20 мм) 1 м 5 см × 3=45 см

45 р.:6=7 (ост. 3)

Учащиеся принимают во внимание только числовые значения и не учитывают наименований: наименования они либо пишут про­извольно, либо опускают совсем. Это свидетельствует о том, что учащиеся не понимают, что при изменении единиц измерения величин изменяются наименование и числовая характеристика величины, сама же величина остается неизменной.

Особенно много ошибок учащиеся допускают в действиях над числами, в которых число разрядных единиц равно нулю.

Примеры ошибочных решений

76 р. 7 к.

- 66 р. 69 к.

10 р. 58 к.

(единицы копеек ученик вычитает верно, но десяток копеек занял из вычитаемого (6), у него осталось 5 дес. Он их переписывает в ответ. Рубли он не занимал (забыл), поэтому действие с рублями сделал верно)

_ 2 км 6м

1 км 8 м

1 км 8 м

(ученик или переписал вычитаемое, или вычитал, не обращая внимания на пропущенные нули, но при этом еще вычитая метры, занял 1 км, но забыл об этом при вычитании километров и по­лучил 1 км 8 м.)

_117 дм

99 дм 5 см

17 дм 95 см

(считает, что в 1 дм - 100 см)

_117 дм

99 дм 5 см

112 дм

(неправильно вычисляет числа, выраженные в дециметрах, а на число в сантиметрах не обраща­ет внимание)

_8м

3м 60 см

5м 60 см

(в ответ записывает количество сантиметров вычитаемого, а вычитает только в метрах)

_ 76 р. 7 к.

66 р. 69к.

10 р. 58к.

(занимает один десяток из числа десятков вычитаемого, а остаток пишет в ответ)

6 р. 8 к. + 5 р. 7 к. = 12 р. 5 к. (10 к. превратил в 1 р.).

При изучении этой темы важно не только исправлять, но и предупреждать ошибки учащихся.

При изучении сложения и вычитания чисел, полученных от измерения величин, важно соблюдать определенную последова­тельность. Всегда решение примера надо начинать сего предварительного анализа, т. е. формировать ориентировочную основу дей­ствий. Постоянно ставить перед школьниками требование: прежде чем решить примеры с наименованием, надо внимательно посмот­реть на наименования компонентов действий, подумать, какие соотношения между числами с мелкими и крупными наименования­ми, где нужно вставить недостающие нули, и только после этого приступить к вычислениям.

Сложение и вычитание

Действия над числами, полученными от измерения величин, выполняются так же, как действия над многозначными числами, с той лишь разницей, что при числах должны быть записаны наименования единиц измерения.

1. Сначала рассматриваются те случаи сложения и вычитания чисел, выражающих длину, массу, стоимость, в которых не требу­ется производить замену одних единиц измерения другими.

8 м+7 м 15м-7м

65 см+27 см 92 см-27 см

2. Затем рассматриваются действия над числами с разными единицами измерения. Выполнять действия над ними можно раз­ными способами:

а) заменить крупные меры мелкими, т. е. выразить компоненты действий в одних и тех же единицах, например:

5 дм+4 см=? 5 дм=50 см, 50 см+4 см=54 см=5 дм 4 см.

Значит, 5 дм+4 см=5 дм 4 см

5 м+75 см=5 м 75 см

50 к.+2 р.=2 р. 50 к.

б) показать, что при сложении, например, двух полосок длиной со­ответственно 5 дм и 4 см в сумме получится полоска длиной 5 дм 4 см; если взять 50 к. и 2 р., то всего денег будет 2 р. 50 к.

Аналогично объясняется и действие вычитания:

5 дм 4 см-4 см 5 дм 4 см-5 дм

7 р. 50 к.-7 р. 7 р. 50 к.-50 к.

8 м 67 см-5 м

8 р. 67 к.-38 к.

Можно решать эти примеры устно путем рассуждений: если из 7 р. 50 к. вычесть 7 р., то останется только 50 к.

Можно раздробить крупные меры в мелкие:

7 р. 50 к. = 750 к.

7 р.=700 к., 750 к.-700 к.=50 к.

Можно решить примеры письменно с записью в столбик:

Учащиеся, испытывающие особые трудности в обучении математике, должны выразить все числа водной (одинаковой) мере, произвести вычисление в ответе, если нужно сделать снова преобразование, т. е. число, полученное в ответе, записать с двумя (одним) наименованиями величин.

Решение этого вида примеров можно провести:

а) устно путем рассуждений: рубли вычитаются из рублей, а копейки - из копеек, т. е. надо складывать и вычитать числа одного наименования;

б) с записью в столбик:

+ 18 км 750 м _ 27 км 386 м

36 км 185 м 15 км 190 м

Целесообразно выбрать один прием решения и пользоваться только им, так как несколько приемов запутают умственно отсталых учащихся и в результате ни одним из них они не овладеют удовлетворительно.

После этого рассматриваются случаи сложения и вычитания чисел, выражающих длину, массу, стоимость, в результате дейст­вий над которыми мелкие меры нужно выразить в более крупных.

I. 1) 8 см+2 см=10 см=1 дм

1 дм-3 см=7 см

2) 75 к.+25 к.=100 к.=1 р.

1 р.-85 к.=15 к.

3) 560 м+440 м=1000 м=1 км

1 км-350 м=650 м

Решение такого вида примеров проводится устно с записью в строчку или письменно с записью в столбик:

+ 396 м 1 км – 748 м = 1000 м – 748 м = 252 м

604 м _1000 м

1000 м748м

1 км 252 м

II.1) 5 см 8 мм + 2 мм 2) 8 р. 57 к. + 43 р.

3)6 км 380 м + 620 м

1-й способ решения:

_ 8 р. 57 к.

43к.

8 р. 100 к.

9 р.

2-й способ решения (крупные меры заменяются мелкими).

8 р. 57 к. = 857 к. _ 857 к.

43 к.

900 к.

9 р.

III. 1) 8 см – 5 мм 2) 10 р. – 57 к. 3) 7 т. – 185 кг

В данном случае, чтобы выполнить вычитание, надо занять одну крупную единицу измерения и заменить ее мелкими единицами. Решать эти примеры можно двумя способами:

1- й способ решения. Заметим, что в уменьшаемом 10 р. И нет копеек, занимаем 1 р., остается 9 р., 1 р. содержит 100 к., 100 к.-57 к.=43 к. В итоге получим 9 р. 43 к.

2-й способ решения.

1 р. = 100к. _1000 к.

10 р. = 100к.× 10 57 к.

10 р. = 1000 к. 943 к.

9 р. 43 к.

Примеры этого вида необходимо решать с проверкой.

Проверка.

₊9 р. 43 к.

57 к.

9 р. 100 к.

10 р.

IV. 1) 5 дм 8 см+6 см=5 дм 14 см=6 дм 4 см 6 дм 4 см-8 см=?

_6 дм 4см 8 см 5 дм 6 см   2) 4 м 75 см+96 см 14 км 350 м+180 м

3м40 см-85 см 10 км 350 м-780 м

V. 5 дм 8 см+1 дм 2 см=6 дм 10 см=7 дм

5 р. 85 к.+6 р. 15 к.

4 кг 425 г+7 кг 575 г

7 дм-1 дм 2 см 10 р.-7 р. 28 к.

8 кг-5 кг 375 г

VI. Особые случаи сложения и вычитания

К особым случаям сложения и вычитания мы относим сложение и вычитание чисел, в которых число единиц равно нулю. Для умственно отсталых школьников, как уже отмечалось, значитель­ную трудность представляют сложение и вычитание чисел с нулями в середине. Характерной ошибкой является вписывание лишних нулей или пропуск их, например: 3 р. 5 к.=35 к., или 350 к., или 3005 к.

Это приводит, например, к таким ошибкам:

_ 4 км 75 м

1 км 38 м

1 км 37 м

Предупредить подобные ошибки можно, если в числа вместо пропущенных разрядов вписывать нули: 3 р. 05 к., 5 кг 075 г, 15 км 007 м, 3 кг 008 г, 1 кг 076 г.

Решение подобных примеров может быть осуществлено одним из вышеуказанных способов, но с учетом наименований, их соотношений и необходимости предварительных преобразований или преобразований в ответе.

Необходимо постоянно учить учеников перед выполнением дей­ствий анализировать числа, пример в целом и, только выбрав наиболее рациональный прием решения, приступать к выполне­нию задания.

Чтобы учащиеся осознанно выполняли задания, необходимо предлагать им такие виды упражнений: самостоятельное составление примеров с числами, имеющими одинаковые единицы измерения, составление примеров, в компонентах которых единицы тех или иных разрядов равны нулю; выбор из ряда примеров и решение только тех примеров, в которых надо вставить нули, и др. Очень важно давать учащимся задания на сопоставление примеров, отличающихся соотношением мер, например:

5 дм 7 см 5 м 7 см 5 км 7 м 5 км 75 см

+ 4 дм 8 см + 4м 8 см + 4 км 8м+ 4 км 48 см

и т.д.

+408	7 р. 5 к. +4р. 8к.	+48	7 м 5 дм + 4 м 8 дм
	11 р. 13 К.		12 м 3 дм

Полезно поставить вопрос: почему ответы получились разные? Каким бы способом ни производились вычисления, учащиеся должны понимать, что сложение и вычитание чисел, выраженных в мерах длины, массы, стоимости и т. д., выполняются так же, как сложение и вычитание многозначных чисел.

Умножение и деление

В школе VIII вида изучается только умножение и деление чисел, полученных от измерения величин (кроме времени) на отвлеченное число. Умножение и деление этих чисел необходимо сопоставлять с соответствующими действиями с отвлеченными числами.

Последовательность и приемы выполнения действий:

1. Умножение и деление числа с одной единицей измерения без замены единиц измерения в произведении и в частном:

15 к. × 5 90 к. ÷ 6

375 кг × 2 456 км ÷ 3

2. Умножение числа с одной единицей измерения с заменой единиц измерения в произведении:

25 к. × 4=100 к. =1 р. (устно)

45 к. × 5=225 к.=2 р. 25 к. (устно)

425 г × 3=1275 г=1 кг 275 г (с записью в столбик)

3. Деление числа с одной единицей измерения на однозначное число.

При решении таких примеров делимое надо выразить в более мелких мерах:

1 р.:2 3 дм:5

100 к.:2=50 к. 30 см:5=6 см

3р.:2
300 к.: 2 =150 к. =1 р. 50 к.

4. Умножение и деление чисел с двумя единицами измерения на однозначное число:

1) 3 дм 7 см × 9 2) 3 р. 87 к. × 5 3) 8 кг 125 г × 7

Рассмотрим подробно решение последнего примера:

8 кг 125 г заменим граммами, получим 1 кг=1000 г;

100 гх8=8000 г; 8000 г+125 г=8125 г.

Теперь произведем умножение по правилу умножения много­значного числа на однозначное:

_×8125 г

7

56 875 г

56 кг 875 г

1) 7 м 5 дм:5 2) 4 р. 74 к.:3 3)32 км 875 м : 5

Рассмотрим решение примера: 4 р. 74 к.: 3. Выразим делимое в копейках, получим 474 к. Делим по правилу деления многозначного числа на однозначное:

Особого внимания заслуживают примеры, в которых число еди­ниц того или иного разряда равно нулю, например: 3 м 8 см × 4, 38 км 76 м : 6. В данном случае (так же как и при выполнении действий сложения и вычитания) необходимо требовать от уча­щихся при записи числа с наименованиями вписывать нули (3 м 08 см × 4, 38 км 076 м : 6), а уже затем выражать числа в одних мерах и выполнять действие.

Когда учащиеся овладеют приемами умножения и деления, тогда им можно показать, что в отдельных случаях находить результат быстрее (можно даже устно), если умножать или делить число, выраженное только в крупных мерах или только в мелких. Например, 2 м 15 см ×3.

1-й способ.

2м 15 см × 3=6 м 45 см _Х215 см

1 м=100 см 3

100 см • 2=200 см 645

200 см+15 см=215 см 6 м 45 см

2-й способ.

2 м 15 см • 3=6 м 45 см

1. Сначала умножаем число метров на 3:

2 м•3=6 м

2. Затем умножаем число сантиметров на 3:

15 см • 3=45 см

3. Складываем промежуточные произведения:

6 м+45 см=6 м 45 см

Чтобы выбрать способ решения, необходимо тщательно проана­лизировать множители: если в произведении получается число, которое не нужно заменять крупными мерами, то целесообразно выбрать 2-й способ. Естественно, что такой предварительный ана­лиз доступен лишь наиболее сильным учащимся и при выполнении действий с небольшими числами.

Необходимо показать способы решения примеров на деление:

30 р. 75 к.:5=6 р. 15 к

1-й способ.

1) 1 р.=100 к.

2) 100 к. • 30=3000 к.

3) 3000 к.+75 к.=3075 к.

4) _3075 к. | 5____________

30 | 615 к. = 6 р. 15 к.

_7

5

_25

25

2-й способ.

1) 30 р.: 5=6 р.

2) 75 к.: 5=15 к.

3) 6р.+15 к.=6 р. 15 к.

Чтобы выбрать наиболее рациональный способ решения примера на деление, надо проверить, делятся ли крупные меры делимо­го на делитель надело, и если делятся, то пример легче решать 2-м способом.

5. Умножение и деление чисел, полученных от измерения, на двузначное число:

1) 17 р. • 25

2) 17 р. 32 к. • 15

3) 375 г • 48

4) 65 м 20 см:16

5) 900 р.:12

Число с одним наименованием мер умножается на двузначное число по правилу умножения целых чисел. Если необходимо, в ответе выполняется преобразование.

6. Умножение и деление чисел с двумя наименованиями мер производятся путем предварительного выражения их числом с одним наименованием мер:

5 м 27 см•14=73 м 78 см55 м 20 см:16=3 м 45 см

5 м 27 см=527 с 55 м 20 см=5520 см

527 см _5520 см| 16______________

^× 14 48 | 345 см = 3 м 45 см

₊2108 _72

527 64

7378 см _ 80

73 м 78 см 80

Учащимся для лучшего запоминания последовательности (алго­ритма) выполнения действий можно предложить памятку прибли­зительно такого содержания:

1) Прочитай пример.

2) Определи один или два наименования в числе, которое нужно умножить (разделить).

3) Если 1-й множитель (делимое) - число с двумя наименова­ниями мер, то надо установить, единицы каких разрядов равны нулю.

4) Вырази 1-й множитель (делимое) числом с одним наимено­ванием мер.

5) Выполни умножение (деление).

6) Выполни преобразование в ответе.

При выполнении действий с числами, полученными от измере­ний, не надо забывать о решении примеров с неизвестными ком­понентами действий:

3 р. 75 к.-х=1 р. 50 к. 2 р. 35 к.+х=4 р.

Вопросы и задания

1. Подберите несколько упражнений на преобразование чисел, получен­ных от измерения величин. Определите дидактические цели каждого упражнения.

2. Сравните решение этих примеров:

7 р. 55 к.+2 р. 35 к. 7 р. 55 к.+2 р. 45 к.

7 р. 55 к.+2 р. 85 к. 7 р. 5 к.+2 р. 8 к.

Какие трудности могут встретиться у учащихся при их решении? Каковы пути их преодоления?

Составьте по этим примерам примеры на вычитание и покажите методику ознакомления учащихся с вычислительными приемами.

3. Составьте пример на умножение (деление) числа с двумя наименова­ниями мер на однозначное число и покажите методику объяснения решения этого примера учащимся.

4, проанализируйте виды заданий на закрепление умножения и деления с числами, полученными от измерения величин, в учебнике математики для 7-го класса.

Глава 16