Обсуждение задачи геометрической прочности

Надежность является важнейшим критерием при проектировании и эксплуатации любых сетей – организационных, транспортных, логистических, коммуникационных. Естественным модельным представлением рассматриваемых сетей являются их диаграммы (фактически – графы с, возможно, расширенной сигнатурой [8]), в которых узлам сети соответствуют вершины графа, а линиям связи – рёбра. Возникает разумное желание численно оценить устойчивость сети (как графа) к разрушению, то есть способность сети продолжать соединять некоторые вершины при случайном или целенаправленном разрушении некоторых ребер в результате внешнего воздействия на сеть.

Ясно, что при удалении рёбер сети может нарушиться её связность – сеть распадется на не связанные между собой фрагменты и перестанет выполнять свои функции. Интуитивно понятно, что сети различных геометрических конфигураций могут обладать различной прочностью по отношению к внешним разрушающим воздействиям. Так, например, на рис. 2.9(а) видно, что для разрушения (потери связности) сети, являющейся цепью, достаточно случайного удаления всего одного ребра, в то время как удаление даже нескольких ребер из сети на рис.2.9(б) не приведет к распаду сети на несвязные фрагменты.

(а) цепь

(б) полный граф

Рис. 2.9. Примеры пятиэлементных сетей различной геометрической прочности

Благодаря этому наблюдению, становится ясной практически важная задача характеризации прочности сетей на разрыв и определения критериев геометрической прочности сети, то есть её устойчивости к потере связности при случайном внешнем разрушающем воздействии [8].

С математической точки зрения данной тематике посвящено значительное количество исследований, примерами которых могут служить работы [17–20]. В качестве характеристик устойчивости графа к разрушению изучались вершинные и реберные связности, k-связность, целостность, окрестная целостность и многие другие. Однако эти исследования имеют лишь формальное отношение к поставленной проблеме определения и характеризации геометрической прочности реальных сетей, встречающихся в практической деятельности.

Особенность нашей постановки проблемы о прочности сетей заключается в специфическом понимании события «потеря связности сети». В практической деятельности, скажем, в естественно протекающих процессах функционирования организационных сетей, от этих сетей постоянно могут отделяться как отдельные предприятия, так и небольшие фрагменты, вместо отделившихся предприятий к сети могут присоединяться новые и так далее. С формальной математической точки зрения, отделение от сети некоторого предприятия (или небольшой группы предприятий) уже является потерей связности этой сети, и именно такие вопросы рассматриваются в [17–20]. Однако в практической деятельности, отделение одного предприятия вряд ли следует считать катастрофой для всей сетевой структуры в целом.

Рассмотрим простой пример – транспортную сеть города, состоящую из улиц и перекрестков. При выполнении ремонтных работ часть улиц может быть перекрыта. В какой момент следует считать, что транспортная сеть города разрушена? Ясно, что если в результате ремонтных работ оказались перекрытыми все выезды с какого-нибудь двора, то это, конечно, неприятное событие для жильцов двора, но еще не является катастрофой в городском масштабе. Если же, в результате ремонтов дорог, оказался отрезанным целый район города, возникли многокилометровые пробки и перекрыта возможность проезда из одной части города в другой, то эту ситуацию уже следует считать транспортным коллапсом, то есть геометрическим разрушением сети.

Для нужд настоящих исследований естественно считать, что рассматриваемая сеть разрушена тогда, когда в этой сети теряется связность между двумя выделенными крупными фрагментами. Математически это может быть формализовано следующим образом. В рассматриваемой сети выделяются две непересекающиеся цепочки элементов, называемых границами (например, северная граница города и южная граница города). Будем считать сеть «разрушенной в целом», если в ней, в результате случайных разрывов ребер сети, оказались разрушенными все пути от одной границы до другой. Подобное определение хорошо сочетается не только с интуитивным представлением о катастрофе сетевой структуры, но и с практикой эксплуатации организационных, коммуникационных и транспортных сетей. В частности, для организационных сетей, разрушение сети в целом означает, что никакое организационно-экономическое взаимодействие между элементами тех долей, на которые распалась сеть, невозможно (все организационные связи разрушены, сообщение прервано, «границы закрыты»).

Таким образом, встают практически важные вопросы определения и характеризации параметров прочности сетей, отыскания наиболее прочных геометрических форм сетей и определения для данных сетей интенсивности внешних разрушающих воздействия, которые приводят к их разрушению в смысле практически важной интерпретации понятия «разрушения» – потере связности между выделенными границами сети.

В настоящем пункте проведено численное моделирование сетей графами с фиксированной степенью вершин с целью определения моментов наступления пограничного состояния сети, то есть такого состояния, при котором сеть еще существует, но дальнейшие случайные разрушения её ребер очень быстро приведут к разрушению сети в целом.

На первоначальном этапе исследований, в целях наглядности и простоты, а так же для обнаружения возможных подходов к решению поставленной задачи, мы ограничимся рассмотрением сетей достаточно простого вида – прямоугольных сеток на плоскости – и проведем их исследование на геометрическую прочность. Тем не менее, впоследствии станет понятно, что решение поставленной задачи определения геометрической прочности для прямоугольных сеток позволит получить оценки геометрической прочности сетей многих практически важных типов. Это означает, что рассмотрение прямоугольных сеток на плоскости не ограничивает общности задачи и приводит, впоследствии, к практически полному решению задачи для сетей произвольного вида.

Сеть называется регулярной [2], если степени всех её вершин одинаковы. В качестве моделей сетей будем рассматривать регулярные прямоугольные сетки на плоскости, вершины которых соединены между собой рёбрами. Степени всех вершин – фиксированные числа (в дальнейшем ограничим рассмотрение степенями вершин 3,4,5,6,7,8). Постараемся ответить на вопрос: какую часть ребер сети следует удалить, чтобы в ней перестал существовать путь, соединяющий левую и правую стороны прямоугольной сетки?