Условие задачи: Найти главные центральные моменты инерции: а) геометрической фигуры и б)сечения, составленного из стандартных профилей проката

Исходные данные из задачи № 4. Центры тяжести сечений должны быть найдены и нанесены на чертёж сечения. Таким образом, решение задачи №5 ведем с пункта 3 вышеприведённого описания.

Решение: Определение главных центральных моментов инерции геометрической фигуры (рис.13). На изображение заданного сечения, вычерченного в выбранном масштабе, наносим главные центральные оси. Ось Y совмещаем с осью симметрии, ось X проводим перпендикулярно ей через центр тяжести С всей фигуры.

Через центры тяжести С₁ С₂, С₃, С₄ простых фигур проводим собственные центральные оси инерции. Обозначим их соответственно , , , , . Собственные центральные оси , , совпадают с главной центральной осью.

Используя координаты центров тяжести частей фигуры, найденные при определении центра тяжести всей фигуры (см. рис.11), определим расстояния между главной центральной осьюXи каждой из осей :

a₁ = y₁ -y_с = 70-40,5 = 29,5 см;

а₂ = y₂ - y_с = 50 - 40,5 = 9,5 см;

a₃ = y_с – y₃ = 40,5 - 22,5 = 18 см;

а₄ = y_с - у₄ = 40,5 - 30 = 10,5 см.

Рис.13 Рис.14

Используя формулу перехода на параллельные оси, определяем

cm⁴.

Численные значения площадей отдельных фигур также из задачи 4.

cm⁴.

cm⁴.

= 150355.5 cm⁴

Момент инерции относительно главной центральной оси X определим, суммируя моменты инерции составных частей фигуры: I_Х = + + + = 1467858,5см⁴.

Момент инерции относительно главной центральной оси Y определяем следующим образом.

Поскольку у фигур 1,2,3 собственные центральные оси совпадают с главной центральной осью инерции, расстояние между осями равно нулю. Следовательно, главный центральный момент инерции каждой из этих фигур равен собственному моменту инерции:

cm⁴;

cm⁴;

cm⁴;

Для четвертой фигуры расстояние между вертикальными осями а.₄ = 17,5см (рис.13):

= 230156 cм⁴

получаем I_у = 466458 см .

Определение главных центральных моментов инерции сечения, составленного из стандартных профилей проката (рис.14).

В составном сечении через найденный центр тяжести С проводим главные центральные оси инерции X и Y. Ось X совмещена с осью симметрии сечения. Проводим собственные центральные оси инерции , , , , , каждой из составных частей.

Определим расстояние между собственными и главными центральными осями инерции, используя абсциссы центров тяжести частей сечения, найденные при определении положения центра тяжести всего сечения (см. рис 12):

а₁ = х₁ - х_с = 20 - 9,04 = 10,96 см;

а₂ = х_с - х₂ = 9,04 - 2,07 = 6,97 см;

а₃ = х_с + х₃ = 9,04 + 2,65 = 11,69 см;

а₄ = х₄ - х_с = 10 - 9,04 = 0,96 см;

а₅ ⁼ у₄ = l/2h швеллера №20 + l/2h листа = 10,6 см;

а₆ = у₃= 1,17 см.

Выпишем из таблиц сортамента моменты инерции I_xi° и I_уi° прокатных профилей относительно собственных осей и их площади:

Двутавр № 20 I_x1° = 1840 см⁴; I_y1° = 115 см⁴; А₁ = 26,8 см²

Швеллер № 20 1_х2° = 1520 см⁴; I_у2° = 113 см⁴; А₂ = 23,4 см²

Уголок 80x50x6 1_х3° = 14,8 см⁴; I_y3° = 49 см⁴; А₃ = 7,55 см²

Полоса 12x200 I_x4° = bh³ /12 = 20*1,2³ /12 = 2,88 см⁴ ;

1_у4° = hb³ /12 = 1,2*20³ /12 = 800 см⁴; А₄ = 24 см²

Для уголка значения моментов инерции I_х и I_у поменялись местами, так как ориентация уголка (см. рис. 14) не совпадает с его ориентацией в ГОСТе. При пользовании таблицами ГОСТов необходимо внимательно следить за правильностью выбора требуемых характеристик, ни в коем случае не основываясь на формальном совпадении индексов.

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси X:

I_Х =

= 1840+1520+2(14,8+1,17²*7,55)+2(2,88+10,6²*24) = 8895 см⁴.

Определяем главный центральный момент инерции составного сечения относительно оси Y: