Независимые события и их свойства.
Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности B, т. е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:
PA(B) = P(B).
Справедливо и выражение:
PB(A) = P(A),
т. е. условная вероятность события A в предположении, что наступило событие B, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события B.
Итак, если событие B не зависит от события A, то и событие A не зависит от события B; это означает, что свойства независимости событий взаимно.
Для не зависимых событий теорема умножения P(AB) = P(A)PA(B) имеет вид
P(AB) = P(A)P(B),
т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Выше приведенную формулу умножения независимых событий, также принимают в качестве определения независимых событий.
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие» поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.
Свойство 1. Пусть события A и B – несовместны. Тогда независимы они будут только в том случае, если P(A) = 0 или P(B) = 0.
Свойство 2. Если события A и B независимы, то независимы и события A и ~B, ~A и B, а также ~A и ~B.
6.
Формула полной вероятности.
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности PB1(A), PB2(A), …, PBn(A) события A. Как найти вероятность события A? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Формула Бейеса.
Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2, …, Bn, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:
P(A) = P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A).
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
PA(B1), PA(B2), …, PA(Bn).
Найдем сначала условную вероятность PA(B1). По теореме умножения имеем
P(AB1) = P(A)PA(B1) = P(B1)PB1(A).
Отсюда
PA(B) = (P(B1)PB1(A))/P(A).
Заменив здесь P(A) по формуле полной вероятности, получим
PA(B1) = (P(B1)PB1(A))/(P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A)).
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Bi (i = 1, 2, …, n) может быть вычислена по формуле
PA(Bi) = (P(Bi)PBi(A))/(P(B1)PB1(A) + P(B2)PB2(A) + … + P(Bn)PBn(A)).
Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итого которого появилось событие A.
7.
Повторяющиеся испытания.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.
В разных независимых испытаниях событие A может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.
Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появится. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же, а именно равна p. Следовательно, вероятность «ненаступления» события в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 – p.
Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, что бы событие A повторилось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события A три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: AAA~A, AA~AA, A~AAA, ~AAAA.
Искомую вероятность обозначим Pn(k). Например, символ P5(3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью, так называемой формулы Бернулли.
Формула Бернулли.
Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие наступит k раз и не наступит n – k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна pkqn-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов, т. е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события A в n испытания) равна вероятности одного сложно события, умноженной на их число:
Pn(k) = pkqn-k
или
Pn(k) = pkqn-k.
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
8.