Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки А, расположенной на расстоянии r _а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

Путь точки A: S_A = ωr_А

Линейная скорость точки A: v_A = ωr_А

Ускорения точки A: a_tA = εr_А — касательное;

а_пA = ω² r_А — нормальное, где r_А — радиус окружности, траектории точки А.

Примеры решения задач

Пример 1. Ротор электродвигателя вращается со скоростью, описываемой уравнением

ω = πt.

Определить вид движения.

Решение

1. Анализируем выражение для скорости: скорость меняется и зависит от времени линейно. Следовательно, угловое ускорение — постоянно, ε = ω' = 2π = const.

2. Движение равнопеременное (равноускоренное, т.к. ускорение положительно).

Пример 2 Тело вращалось равноускорено из состояния покоя и сделало 360 оборотов за 2 мин. Определить угловое ускорение.

Решение

1. Один оборот равен 2π радиан. Следовательно:

360 оборотов = 720π рад, φ = 720π рад.

2.

Закон равнопеременного вращательного движения

Пример 3. Тело вращалось с угловой частотой 1200 об/мин. Затем движение стало равнозамедленным, и за 30 секунд скорость упала до 900 об/мин. Определить число оборотов тела за это время и время до полной остановки. Использовать пункт 1 примера 3.

Решение

1. Построить график изменения скорости за 30 с (рис. 11.9).

Определяем угловую скорость вращения тела:

Определяем угловое ускорение:

Определяем угол поворота за прошедшее время:

Число оборотов за 30 с:

2. Определяем время до полной остановки.

Скорость при остановке равна нулю, ω = 0.

Таким образом, ω = ω₀ + ε t 0 = ω₀ + ε t

Тогда t_0CT = -ω₀/ε t_ocr = 40π*3/π = 120 c.

Пример 5. Маховое колесо вращается равномерно со скоро­стью 120 об/мин (рис. 11.10). Радиус колеса 0,3 м. Определить ско­рость и полное ускорение точек на ободе колеса, а также скорость точки, находящейся на расстоянии 0,15 м от центра.

Решение

Касательное ускорение точки A a_tA = 0; нормальное ускорение точки А а_nA = ω²r_A

а_пA = (12,56)² • 0,3 = 47,3м/с². 5. Полное ускорение точек на ободе колеса

Пример 9. Точка А, лежащая на ободе равно­мерно вращающегося шкива, движется со скоростью v = 2 м/с и нормальным ускоре­нием а_п = 5 м/с². Определить ра­диус шкива OA и величину угло­вой скорости (рис. 1.46).

Решение

Здесь для решения следует воспользоваться известны­ми соотношениями для линейной скорости и нормального ускорения точек вращающегося тела:

Если второе уравнение разделить на первое, найдем угловую скорость вращения шкива:

Тогда

Контрольные вопросы и задания

1. Какими кинематическими параметрами характеризуется по­ступательное движение и почему?

2. Запишите уравнение равномерного поступательного движе­ния твердого тела.

3. Запишите уравнение равнопеременного поступательного дви­жения твердого тела.

4. Запишите уравнения равномерного и равнопеременного вра­щательного движений твердого тела.

5. Задано уравнение движения тела S = f(t). Как определяют скорость и ускорение?

6. Для заданного закона (уравнения) движения

φ = 6,28 + 12t + 3t² выберите соответствующий кинематический график движения (рис. 11.11).