Анализ видов и кинетических параметров движений

Равномерное движение

Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью:

v — const.

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1а)

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Полное ускорение движения точ­ки равно нулю: а = 0.

При криволинейном равномерном движении (рис. 10.16)

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Полное ускорение равно нормальному ускорению: а = ап.

Уравнение (закон) движения точки при равномерном движении можно получить, проделав ряд несложных операций.

Так как v = const, закон равномерного движения в общем виде является уравнением прямой:

S = So+vt,

где So — путь, пройденный до начала отсчета.

Равнопеременное движение

Равнопеременное движение — это движение с постоянным каса­тельным ускорением:

at = const.

Для прямолинейного равнопеременного движения

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Полное ускорение равно касательному ускорению. Криволинейное равнопеременное движение (рис. 10.2):

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Учитывая, что и сделав ряд преобразований:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

получим значение скорости при равнопеременном движении

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

После интегрирования будем иметь закон равнопеременного движения в общем виде, представляющий уравнение параболы:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

где v0 — начальная скорость движения;

So — путь, пройденный до начала отсчета;

at — постоянное касательное ускорение.

Неравномерное движение

При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются.

Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f(t3) и выше степени.

Кинематические графики

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Кинематические графики — это графики изменения пути, ско­рости и ускорений в зависимости от времени.

Равномерное движение (рис. 10.3)

Равнопеременное движение (рис. 10.4)

Примеры решения задач

Пример 1. По заданному закону движения S =10 + 20t — 5t2 ([S] = м; [t] = с) определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

(Рекомендуется обойтись без расчетов, использовать метод срав­нения заданного уравнения с уравнениями различных видов движе­ний в общем виде.)

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Решение

1. Вид движения: равнопеременное

2. При сравнении уравнений очевидно, что

  • начальный путь, пройденный до начала отсчета – 10 м;
  • начальная скорость 20 м/с;
  • постоянное касательное ускорение at/2 = 5 м/с ; at = — 10 м/с .
  • ускорение отрицательное, следовательно, движение замедлен­ное (равнозамедленное), ускорение направлено в сторону, противо­положную направлению скорости движения.

3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю:

v = S' = 20 - 2 • 5t; v = 20 – 10t = 0; t = 20/10 = 2 c.

Примечание. Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение — положительная величина, гра­фик пути — вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) — отрицательная величина, график пути — выпуклая парабола (рис. 10.4).

Пример 2. Точка движется по желобу из точки А в точку D (рис. 10.5).

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через В и С?

Скорость движения считать постоянной. Радиус участка АВ = 10 м, радиус участка ВС= 5 м.

Решение

1. Рассмотрим участок АВ. Касательное ускорение равно нулю (v = const).

Нормальное ускорение (ап = v2/r) при переходе через точку В уве­личивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги АВ не совпадает с центром дуги ВС.

2. На участке ВС:

— касательное ускорение равно нулю: at = 0;

— нормальное ускорение при переходе через точку С меняется: до точки С движение вращательное, после точки С движение стано­вится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.

3. На участке CD полное ускорение равно нулю.

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Пример 3. По заданному графику скорости найти путь, прой­денный за время движения (рис. 10.6).

Решение

1. По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок — разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Второй участок — равномерное движение: v = 8 м/с; a2 = 0.

Третий участок — торможение до остановки (равнозамедленное движение).

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

2. Путь, пройденный за время движения, будет равен:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Пример 4. Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, про­шло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, опре­делить время торможения.

Решение

1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного дви­жения:

v = vо + at = 0.

Определяем начальную скорость в м/с: vо = 36*1000/3600 = 10 м/с.

Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости: a = - v0/t

2. Записываем уравнение пути: S = vot/2 + at2/2. После подстановки получим: S = vot/2

3. Определяем время до полной остановки (время торможения):

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Пример 5. Точка движется прямолинейно согласно уравнению s = 20t – 5t2 (s — м, t — с). Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых 4 с движения. Определить путь, пройденный точкой за 4 с, и описать движение точки.

Решение

1. Точка движется прямолинейно по уравнению s = 20t – 5t2 следовательно, скорость точки u = ds/d/t = 20 — 10t и ускорение a = at = dv/dt = —10 м/с2. Значит, движение точки равнопеременное (a = at = —10 м/c2 = const) с начальной скоростью v0 = 20 м/с.

2. Составим зависимость числовых значений s и v для первых 4 с движения

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

3. По приведенным числовым значениям построим графики расстояний (рис. а), скорости (рис. б) и ускорения (рис. в), выбрав мас­штабы для изображения по осям ординат расстояний s, скорости v и ускорения а, а также одинаковый для всех графиков масштаб времени по оси абсцисс. Напри­мер, если расстояние s = 5 м изображать на графике длиной отрезка ls = 10 мм, то 5м = μs*10мм, где коэффициент пропорциональности μs и есть масштаб по оси Os : μs = 5/10 = 0,5 м/мм (0,5 м в 1 мм); если модуль скорости v = 10 м/с изобра­жать на графике длиной lv =10 мм, то 10 м/c = μv * 10 мм и масштаб по оси Ov μv = 1 м/(с-мм) (1 м/с в 1 мм); если модуль ускорения а = 10 м/с2 изображать отрезком la = 10 мм, то, аналогично предыдущему, масштаб по оси Оа μa = 1 м/(с2-мм) (1 м/с2 в 1 мм); и наконец, изображая промежуток време­ни Δt = 1 с отрезком μt = 10 мм, получим на всех графиках масштаб по осям Ot μt = 0,1 с/мм (0,1 с в 1 мм).

4. Из рассмотрения графиков следует, что в течение времени от 0 до 2 с точка движется равнозамедленно (скорость v и ускорение в течение этого промежутка времени имеют разные знаки, значит, их векторы направлены в противоположные стороны); в период времени от 2 до 4 с точка движется равноускоренно (скорость v и ускорение имеют одинаковые знаки, т. е. их векторы направлены в одну сто­рону).

За 4 с точка прошла путь so_4 = 40 м. На­чав движение со скоростью v0 = 20 м/с, точка по прямой прошла 20 м, а затем вернулась в исходное положение, имея ту же скорость, но направленную в противоположную сторону.

Если условно принять ускорение свободно­го падения g = 10 мс2 и пренебречь сопротивле­нием воздуха, то можно сказать, что графики описывают движение точки, брошенной верти­кально вверх со скоростью а0 = 20 м/с.

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Пример 6. Точка движется по траектории, изображенной на рис. 1.44, а, согласно уравнению s = 0,2t4 (s — в метрах, t — в секундах). Определить скорость и ускорение точки в положениях 1 и 2.

Решение

Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 (начала отсчета) в положение 1, опреде­лим из уравнения движения, подставив частные значения расстояния и времени:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Уравнение изменения скорости

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Скорость точки в положении 1

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Уравнение изменения касательного ускорения

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Касательное ускорение точ­ки в положении 1

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Нормальное ускорение точки на прямолинейном участке траектории равно нулю. Ско­рость и ускорение точки в конце этого участка траекто­рии показаны на рис.1.44, б.

Определим скорость и уско­рение точки в начале криво­линейного участка траектории. Очевидно, что v1 = 11,5 м/с, аt1 = 14,2 м/с2.

Нормальное ускорение точки в начале криволинейного участка

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Скорость и ускорение в начале криволинейного участ­ка показаны на рис. 1.44, в (векторы at1 и aa1 изобра­жены без соблюдения масштаба).

Положение 2 движущейся точки определяется прой­денным путем, состоящим из прямолинейного участка 0 — 1 и дуги окружности 1 — 2, соответствующей цент­ральному углу 90°:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Время, необходимое для перемещения точки из поло­жения 0 в положение2,

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Скорость точки в положении 2

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Касательное ускорение точки в положении 2

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Нормальное ускорение точки в положении 2

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Ускорение точки в положении 2

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Скорость и ускорения точки в положении 2 показаны на рис. 1.44, в (векторы at„ и аПг изображены без соблюде­ния масштаба).

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Пример 7. Точка движется по заданной траекто­рии (рис. 1.45, а) согласно уравнению s = 5t3 (s — в мет­рах, t — в секундах). Определить ускорение точки и угол α между ускорением и скоростью в момент t1, когда скорость точки v1 = 135 м/с.

Решение

Уравнение изменения скорости

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Время t1 определим из уравнения изменения скорости, подставив частные значения скорости и времени:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Определим положение точки на траектории в момент 3 с:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Дуга окружности длиной 135 м соответствует цент­ральному углу

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Уравнение изменения касательного ускорения

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Касательное ускорение точки в момент tt

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Нормальное ускорение точки в момент tt

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Ускорение точки в момент tx

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Скорость и ускорение точки в момент времени t1 по­казаны на рис. 1.45, б.

Как видно из рис. 1.45, б

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Пример 8. В шахту глубиной H = 3000 м с по­верхности земли без начальной скорости брошен предмет. Определить, через сколько секунд звук, возникающий в момент удара предмета о дно шахты, достигнет поверх­ности земли. Скорость звука 333 м/с.

Решение

Уравнение движения свободно падающего тела

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Время, необходимое для перемещения предмета от поверхности земли до дна шахты, определим из уравне­ния движения:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Звук распространялся с постоянной скоростью 333 м/с. Уравнение распространения звука

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Время достижения звуком поверхности земли

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Тогда время с момента начала движения предмета до момента достижения звуком поверхности земли

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Пример 9. По заданным уравнениям движения точки x = 2t2, y = 2t (x и у — в метрах, t — в секундах) найти уравнение траектории, а также скорость и уско­рение точки в момент времени t = 2 с.

Решение

Для определения траектории точки нужно из уравнений движения исключить параметр t — время.

Выразим t через х из первого уравнения:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

и подставим это значение во второе уравнение:

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Траекторией точки является парабола, симметричная относительно оси х.

Чтобы найти скорость точки, нужно определить ее составляющие по координатным осям

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Находим скорость точки

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

При t = 2 с получаем

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Находим составляющие ускорения точки

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Ускорение точки

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите формулу ускорения при прямолинейном движении.

2. Запишите формулу ускорения (полного) при криволинейном движении.

3. Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru Тело скатывается по желобу (рис. 10.7). Какие параметры движения меняются при переходе через точку В и почему?

Ответы:

1. ап.

2. at.

3. v.

4. Параметры движения не меняются.

Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

4. По заданному уравнению движения точки S = 25 + 1,5t + 6t2 определите вид движения и без расчетов, используя законы движе­ния точки, ответьте, чему равны начальная скорость и ускорение.

5. По заданному уравнению движения точки S = 22t — 4t2 постройте графики скорости и касательного ускорения.

6. По графику скоростей точки определите путь, пройденный за время движения (рис. 10.8).

7. Точка движется по дуге. Охарактеризуй движение точки (рис. 10.9).

 
  Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

8. Ответьте на вопросы тестового задания.

Темы 1.7, 1.8. Кинематика. Кинематика точки

 
  Анализ видов и кинетических параметров движений - student2.ru

.

ЛЕКЦИЯ 11

Наши рекомендации