Выразим скорости и ускорения точек системы через обобщенные координаты, скорости и ускорения. Последовательно вычисляем
ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ
3.1. Обобщенные координаты.Рассмотрим несвободную систему с голономными и неголономными связями. Будем предполагать, что указанные связи независимы, т.е., что ни одна из них не является линейной комбинацией остальных.
Определение 1. Наименьшее число параметров ( ), необходимое для задания возможного положения системы, называется числом независимых обобщенных координат системы.
Очевидно, что
.
Таким образом, число независимых обобщенных координат не превосходит числа степеней свободы системы.
Пусть набор параметров обладает следующим свойством.
1) В любой момент времени и для всех справедливо равенство
, (1)
где - допустимое положение системы в момент времени .
2) Зависимость (1) дважды непрерывно дифференцируемая.
3) Справедливо равенство
. (2)
Определение 2. Набор параметров, удовлетворяющий свойствам 1)-3) называется обобщенными координатами системы.
В общем случае от выполнения равенства (2) для всех допустимых положений системы можно отказаться. Достаточно ввести локальные обобщенные координаты. Это означает, что для различных совокупностей возможных положений системы вводятся различные системы обобщенных координат. При этом для каждой локальной области условие 3) выполняется.
Заметим. что если система склерономна. То обобщенные координаты можно выбрать так, чтобы в зависимости (1) не присутствовало время.
3.2. Координатное пространство.Множество называют координатным пространством параметров . Каждому возможному положению системы соответствует изображающая точка в координатном пространстве. В силу непрерывной зависимости (1.1) из близости возможных положений системы следует близость их изображающих точек.
Пример 1. Точка на плоскости. Координатное пространство сама плоскость .
Пример 2. Система из свободных точек. Координатное пространство -мерное пространство .
Пример 3. Математический маятник
Координатное пространство .
Пример 2. Двойной математический маятник.
Координатное пространство .
3.3. Обобщенные скорости и ускорения. В процессе движения системы ее обобщенные координаты меняются во времени.
Определение 3. Величины называются обобщенными скоростями и обобщенными ускорениями соответственно.
Выразим скорости и ускорения точек системы через обобщенные координаты, скорости и ускорения. Последовательно вычисляем
, (1)
, (2)
. (3)
Связи, наложенные на систему, также могут быть записаны в терминах обобщенных координат и их скоростей.
Голономные связи. Из (1) находим
Неголономные связи. Из (1) и (2) находим
, . (4)
Здесь обозначено
.
Для голономных систем обобщенные координаты и их скорости независимы, поэтому вариациями обобщенных координат могут служить любые наборы чисел. В неголономной системе обобщенные координаты, как и в голономной, могут принимать любые значения, в то время как обобщенные скорости связаны соотношениями (4). Тогда вариации обобщенных координат должны быть связаны соотношениями
.
Выразим виртуальные перемещения системы через вариации обобщенных координат. Из равенства (2) находим
.
3.4. Псевдокоординаты. При исследовании неголономных систем бывает удобно перейти к псевдокоординатам. Пусть - число степеней свободы, а - число обобщенных координат. Полагаем
. (1)
Здесь - некоторые заданные функции обобщенных координат. Величины представляют собой линейные комбинации обобщенных скоростей, но эти комбинации не обязаны быть полными дифференциалами, поэтому сами могут не иметь ни физического ни геометрического смысла и являться лишь символами.
Определение 4. Величины , рассматриваемые как функции времени и обобщенных координат и удовлетворяющие условию (1), будем называть псевдокоординатами, а их производные - псевдоскоростями и псевдоускорениями системы.
Выразим виртуальное перемещение системы через вариации псевдокоординат. Для этого рассмотрим линейную относительно обобщенных скоростей алгебраическую систему
,
.
Матрица этой системы имеет размер . Выбором коэффициентов добьемся, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Тогда система может быть разрешена относительно обобщенных скоростей
.
По построению величины независимы. Тогда
,
, (2)
где обозначено
.
Равенству (2) можно придать другую форму. Имеем
,
здесь функции не зависят от . Из равенства (3.3) находим
,
где функции не зависят от . Из последнего равенства находим, что
.
Таким образом, равенство (2) принимает вид
.