Решение нелинейного уравнения методом Ньютона
Рассмотрим применение метода Ньютона сначала для решения одного нелинейного уравнения f(х)=0, где f(х) - непрерывно дифференцируемая функция.
Функцию f(х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точки х(0)
. (1)
Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим
, (2)
где - называется поправкой.
Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения.
Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку
(3)
и вычислить новое (первое) приближение к корню
. (4)
Если подставить значение в f(х), то получим невязку . По величине невязки можно судить о близости к корню. Если невязка значительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку , подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение . Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю.
Таким образом, суть метода Ньютона заключается в линеаризации нелинейного уравнения и решении полученного линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения.
Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f(х)=0 дана на рисунке.
Как видно из рисунка, к действительному корню нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближения х(0).
Алгоритм решения нелинейного уравнения f(х)=0 методом Ньютона состоит из следующих действий:
1. Задаем начальное приближение х(0).
2. Вычисляем невязку f(х(0)).
3. Определяем - значение производной (как тангенс угла , образованного касательной к кривой в точке В с осью х).
4. Вычисляем поправку ∆х(1) (как катет АС прямоугольного треугольника АВС).
.
5.
|
6. Вычисляем невязку f(х(1)) и проверяем условие ε.
Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го.
Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций.
2. Если у функции f(х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.
Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7х3+5х-1=0 (ε = 0,01)
0 итерация 1. х(0)=0 Зададим х(0)=0
2. |f(х(0))=1|>ε | Начальная невязка f(х(0))=1| ≥ε
1 итерация 1.
2.
3. х(1)=х(0)-∆х(1)=0-(-0,2)=0,2
4. f(x(1))=7∙0,23+5∙0,2-1=0,056 |0,056| > ε
2 итерация 1.
2.
3. х(2)=х(1)-∆х(2)=0,2-0,01=0,19
4. f(x(2))=7∙0,193+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002 |0,002|< ε
Результаты расчетов целесообразно представить в следующей таблице
№ итерации (к) | тангенс | ∆х(к) поправка | х(к) приближение | f(х(к)) невязка |
- | - | -1 | ||
-0,2 | 0,2 | 0,056 | ||
5,84 | 0,01 | 0,19 | 0,002 |