Степенная функция. Степень в комплексной области. Методика изучения степенной функции в школьном курсе математики.

1)Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Степен. Функц у=х² при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

Область определения: хϵ(-∞,+∞)

Область значений:уϵ(-∞,+∞)

Функция нечетная, т.к. у(-х)=-у(х)

Функция возрастает при хϵ(-∞,+∞) .

Функция выпуклая при хϵ(-∞,0] и вогнутая прихϵ[0,+∞) (кроме линфункц).

Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линфункw).

Асимптот нет.

Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

2)Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функциюy=x^a с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

Свойства степенной функции с четным полож показателем.

Область определения: хϵ(-∞,+∞)

Область значений: yϵ[0,+∞)

Функция четная, так как у(-х)=у(х)

Функция возрастает при хϵ[0,+∞) , убывает прихϵ(-∞,0]

Функция вогнутая при хϵ(-∞,+∞)

Точек перегиба нет.

Асимптот нет.

Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

3)Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции y=^xпри нечет отрицзначпоказателя степени, т.e, при а=-1,-3,-5,….

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Область определения:xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ )
При x=0 имеем разрыв второго рода, т.k. , , при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

Область значений: yϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ ).

Функция нечетная, т.k.у(-х)=-у(х)

Функция убывает при xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ )

Функция выпуклая при xϵ(-∞,0)и вогнутая при xϵ(0,+∞ )

Точек перегиба нет.

Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, т.к.k= b= ⇾y=kx+b=0 при а=-1,-3,-5,….

Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

4)Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции y=x^aпри а=-2,-4,-6,….

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Область определения:xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ )
При x=0 имеем разрыв второго рода, так как , , при а=-2,-4,-6,…. Следов-но, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

Область значений: yϵ(0,+∞)

Функция четная, так как у(-х)=у(х)

Функция возрастает при xϵ(-∞,0), убывает при xϵ(0,+∞).

Функция вогнутая при xϵ(-∞,0)∪ (0,+∞ )

Точек перегиба нет.

Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, т.кk= b= ⇾y=kx+b=0при а=-2,-4,-6,….

Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

5)Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Рассмотрим степенную функциюy=x^aс рац или иррац показателем a, причем 0<a<1

Свойства степенной функции при 0<a<1

Область определения: xϵ[0,+∞)

Область значений: yϵ[0,+∞)

Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

Функция возрастает при yϵ[0,+∞)

Функция выпуклая при xϵ[0,+∞)

Точек перегиба нет.

Асимптот нет.

Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

6)Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функy=x^a с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем a>1

Свойства степенной функции при a>1

Область определения: xϵ[0,+∞)

Область значений: yϵ[0,+∞)

Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

Функция возрастает при xϵ[0,+∞)

Функция вогнутая при xϵ(0,+∞) , если 1<a<2 ; при xϵ[0,+∞) , если a>2.

Точек перегиба нет.

Асимптот нет.

Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

7)Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Переходим к степенной функции y=x^a, кoгда -1<a<0

Свойства степенной функции с показателем a,-1<a<0

Область определения: xϵ(0,+∞)
при-1<a<0 , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.

Область значений: yϵ(0,+∞)

Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

Функция убывает при xϵ(0,+∞)

Функция вогнутая при xϵ(0,+∞)

Точек перегиба нет.

Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

Функция проходит через точку (1;1).

8)Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

Область определения: xϵ(0,+∞) приa<-1, след-но, х=0 является вертикальной асимптотой.

Область значений: yϵ(0,+∞)

Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.

Функция убывает при xϵ(0,+∞)

Функция вогнутая при xϵ(0,+∞)

Точек перегиба нет.

Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.

Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 иx≠0 имеем функциюy=x⁰=1 - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения)

Степень в комплексной области

Комплексное число — это сумма обычного действительного числа a и мнимого числа bi, где мнимая единица i есть решение уравнения x² + 1 = 0. Комплексные числа можно складывать и умножать как обычно, нужно только помнить, что i² = −1.

Чтобы всё же определить возведение в комплексную степень, нужно привлечь дополн принципы или соображения по отношению к правилам арифметики. В качестве такого принципа считается разложение e^x ≈ 1 + x около нуля справедливым не только для действительных x, но и для комплексных.

Если это разложение верно, то тогда приближенная формула e^x ≈ (1 + x/n)ⁿ должна работать и для комплексных чисел. В ее показателе уже нет мнимой единицы, поэтому расчеты можно проводить с помощью выписанных выше правил. Это ровно то, что нам нужно для вычисления e^iπ.

Методика изучения степенной функции

Степенную функцию отдельно рассматривают при фиксированном показателе – натуральном, целом отрицательном, рациональном (положительном и отрицательном), иррациональном, действительном. Природа этой функции существенно зависит от показателя степени: если показатель – рациональное число, то функция относится к алгебраическим, если показатель – иррациональное число, то функция относится к трансцендентным.

Ввиду такой широкой разветвленности функции её невозможно изучать в одном разделе, поэтому ознакомление с ней начинается в основной школе, а завершается в старшей школе.

Термин «степенная функция» вводится лишь в 9-м классе в связи с углублённым изучением степенной функции с натуральным показателем. Важно обратить внимание учеников на то, что стандартные степенные функции используются в качестве своеобразного эталона, с которым сравнивают скорости роста других функций, изобразив их на одном рисунке. Встречу с каждой новой функцией необходимо мотивировать приведением примеров соответствующей зависимости, встречающейся на практике. По мере знакомства с новыми функциями список степенных зависимостей будет постепенно пополняться.

Изучение степенной функции продолжается в старшей школе на базе ранее усвоенного материала. Внимание учащихся концентрируется на степенной функции с рациональным показателем. В то же время подчеркивается, что степенная функция может быть рассмотрена и с действительным показателем. Тем самым обговаривается перспективная возможность изучения функции в полном объеме в вузовском курсе математического анализа.

В большинстве школьных учебников алгебры и начал анализа прослеживается наметившаяся еще в алгебре поэтапность в изучении степенной функции, обобщаются полученные ранее результаты и открываются новые, формируются свойства дифференцируемости и интегрируемости функции. В учебнике А. Н. Колмогорова и др. степенная функция, завершая функциональную линию, исследуется с помощью понятия производной, что делает изложение материала более компактным, упрощая доказательство свойств.

В учебниках алгебры и начал анализа дается определение степенной функции общего вида как функции, которая может быть задана формулой y=x^α, α где – любое действительное число. В некоторых учебниках отмечается, что степенной функцией можно называть и функцию более общего видаy=ax^α, a≠0. В этом случае целесообразно сразу же обратить внимание учащихся на взаимосвязь графиков функцийy=x^αи y=ax^α.

Учащиеся часто смешивают степенную функцию с показательной. Чтобы этого не случалось, необходимо сразу же обратить их внимание на то, где содержится аргумент х: если в основании степени – степенная, если в показателе степени – показательная. Учитель должен знать, что степенную функцию можно заменить показательной, используя основное логарифмическое тождество (из вузовского курса математического анализа).

8.5Показательная функция, ее основные свойства, разложение в степенной ряд. Показательная функция комплексной переменной. Формулы Эйлера. Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики.

Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое, наз показательной функцией.

Область определения показательной функ: D(y)=R – множество всех действительных чисел.

Область значений показательной функции: E(y)=R+ - множество всех положительных чисел.

Показательная функция y=a^x возрастает при a>1.

Показательная функция y=a^x убывает при 0<a<1.

Справедливы все свойства степенной функции:

· а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

· а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.

· a^x∙a^y=a ^x+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

· a^x:a^y=a ^{x- y} При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

· (a^x)^y=a ^xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

· (a∙b)^x=a^x∙b^x При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

· (a/b)^x=a^x/b^x При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

· а^-х=1/ax

· (a/b)^-x=(b/a)^x.

Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a>1

2) для случая 0<a<1

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a. Если y=a^x; (a>0, a≠0), то x=log_ay

Если y=log_ax; (x>0, a>0, a≠0), то x=a^y

Разложение в ряд

a^x=elna^x=∑(𝑙𝑛𝑎∗𝑥)𝑛𝑛!∞𝑛=0=1+lna*x+(𝑙𝑛𝑎∗𝑥)22!+(𝑙𝑛𝑎∗𝑥)33!+(𝑙𝑛𝑎∗𝑥)44!+…=1+lna₁*x₁+𝑙𝑛2𝑎₂!∗𝑥2+𝑙𝑛3𝑎₃!∗𝑥₃+𝑙𝑛4𝑎₄!∗𝑥₄+…

Показательная функция комплексной переменной.

Показательную функцию e^x определим для любого комплексного числа z=x+iy следующим соотношением: 𝜔=e^x=e^x+iy=e^x(cosy+isiny).

При x=0 получаем формулу Эйлера: e^iy=cosy+isiny.

Свойства показательной функции:

1) Для действительных z данное определение совпадает с обычным.

2) Функц e^x аналитична на всей комплексной плоскости (e^x)’=e^x

3) для функции ex сохраняется теорема сложения: 𝑒^𝑥1∗𝑒^𝑥2=𝑒 ^𝑥1+𝑥2

Положим z1=x1+y1, z2=x2+iy2. Тогда 𝑒^𝑥1∗𝑒^𝑥2=𝑒^𝑥1(𝑐𝑜𝑠𝑦₁+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦₁)𝑒^𝑥2(𝑐𝑜𝑠𝑦₂+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑦₂)= 𝑒^𝑥1+𝑥₂(cos(y₁+y₂)+isin(y₁+y₂))= 𝑒 ^𝑥1+𝑥2

4) Функция e^x – периодическая с мнимым основным периодом 2πi

Для любого целого k 𝑒^𝑧+2𝜋𝑘𝑖=𝑒^𝑧∗𝑒^𝑖2𝜋𝑘=𝑒^𝑧, ибо 𝑒^𝑖2𝜋𝑘=cos2πk+isin2π=1

С другой стороны, если 𝑒^𝑧1=𝑒^𝑧2, где z1=x₁+iy₁, z₂=x₂+iy₂, то из опр. вытекает, что 𝑒^𝑥1=𝑒^𝑥2, cosy₁=cosy₂, siny₁=siny2

Откуда следует, что x₁=x₂, y₁=y₂+2πn, или z2-z1=i2πn, где n – целое.

Формула Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного и комплексного числа х выполнено следующее равенство: e^ix=cosx+isinx, где e — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: e= , i — мнимая единица

Производные формулы

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом:

= , cosx= .

Понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть x=iy, тогда:

siniy= =ishy, cosiy= =chy.

Методика изучения темы: «Показательные функции» в школьном курсе математики:

Изучение темы «Показательная функция», является важнейшим этапов не только в изучении всех видов функций в школьном курсе математики, но самой математики как целой науки. На изучение темы отводится 6 часов.

В учебниках:

1) Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. Никольский С.М. и др. Базовый и профильный уровни. ГЛАВА I. КОРНИ, СТЕПЕНИ, ЛОГАРИФМЫ, § 4. Степень положительного числа, пункт 4.8. Показательная функция.,

2) Учебник Алгебра 11 класс А.Г. Мордкович., 1 часть. Глава 3 «Показательная и логорифмические функции» параграф 11.

Методика изучения показательной функции начинается с повторения:

а) Понятие степени с действительным показателем и её свойства

б) Понятие степенной функции и её свойства.

Основная цель - познакомить учащихся с показательной функцией , научить решать показательные уравнения, неравенства, системы содержащие показательные уравнения; обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения об уравнениях, неравенствах, системах и методах их решения; познакомить с общими методами решения.

В ходе изучения свойств показательной функцией учащиеся систематически решают простейшие показательные уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.