Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема 1: (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем. Необходимо доказать, что существует M>0 , что для всех 𝑥∈[𝑎,𝑏] выполняется |𝑓(𝑥)|≤𝑀. Доказательство (от противного). Пусть для всякого M>0 найдется такая точка 𝑥𝑀∈[а,𝑏] , что |𝑓(𝑥𝑀)|>𝑀 : для M=1 найдется 𝑥1∈[𝑎,𝑏] , что |𝑓(𝑥1)|>1; для M=2 найдется 𝑥2∈[𝑎,𝑏] , что |𝑓(𝑥2)|>2 и т. д., для M=n найдется 𝑥𝑛∈[𝑎,𝑏] , что |𝑓(𝑥𝑛)|>𝑛; и т. д., Итак, построена последовательность {𝑥𝑛}∁[𝑎,𝑏] такая, что для всех n: |𝑓(𝑥𝑛)|>𝑛. Ясно, что 𝑓(𝑥��)→∞. Последовательность {𝑥𝑛}∁[𝑎,𝑏] , т. е. ограничена. Следовательно, по теореме Больцано - Вейерштрасса, существует подпоследовательность {𝑥𝑛𝑘}∁{𝑥𝑛} такая, что 𝑥𝑛𝑘→𝛼∈[𝑎,𝑏]. Так как функция f непрерывна на отрезке [𝑎,𝑏], она непрерывна и в точке 𝛼∈[𝑎,𝑏]. Итак, имеем 𝑓(𝑥𝑛𝑘)→𝑓(𝛼), но по построению 𝑓(𝑥𝑛𝑘)→∞ , что является противоречием.

Теорема 2: Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения 𝑥1 и 𝑥2, что 𝑓(𝑥1)=𝑚, 𝑓(𝑥2=𝑀), причем 𝑚≤𝑓(𝑥)≤𝑀. Теорема 3: Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] и числа f(a) и f(b) не равны нулю и имеют разные знаки, то на интервале (a,b) имеется по крайней мере одна точка c такая, что f(c)=0. Следствие: (Вторая теорема Больцано - Коши). Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [a,b], f(a)=А, f(b)=B , причемA<B , и C -- произвольное число такое, что A< C < B, то на интервале(a,b) найдется по крайней мере одна точка с∈[𝑎,𝑏] , в которой f(c) = C (т. е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка).

Теорема 4: Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна в точке x=x0 , то существует некоторая окрестность точки x0 , в которой функция сохраняет знак. Теорема 5: (Первая теорема Больцано - Коши). Если функция f(x) - непрерывная на отрезке [a,b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x)=0. Теорема 6: Теорема Кантора. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Теорема 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция x=g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна.

Предел числовой последовательности. Необходимый и достаточный признак сходимости (критерий Коши). Теорема о пределе монотонной последовательности. Понятие последовательности в школьном курсе математики и методика его изучения.

Числовой последовательность- бесконечное множество чисел (1)следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента, т.е. .Число А-предел последовательности (1), если для любого существует число , такое, что при выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут .Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: . критерийКоши. Для того чтобы последовательность имела конечный предел (сходилась), необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (удовл.критерию Коши).Необходимость.Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным . По определению предела такое, что и выполняется неравенство . Пусть , тогда . Пусть , тогда . В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем . Следовательно, для любого и для любого выполняется неравенство , т. е. выполняется условие Коши. Достаточность. Пусть — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности выполняется неравенство . Так как фундаментальная последовательность является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса , она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть ее предел равен , т. е. . Покажем, что число является пределом исходной последовательности . По определению предела : . Пусть . Фиксируем номер (такой номер найдется, так как при ). Тогда при и при всех выполняется неравенство . Из этого следует, что при всех справедливо неравенство: т. е. .

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности)Если последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, то: .Аналогично для убывающей и ограниченной снизу последовательности:

Док-во:Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.Действительно, по определению точной верхней границы: .Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что .Так как последовательность монотонна, то при : , а значит, и и выполняются неравенства: откуда и следует, что .

Методика:

Место числовых последовательностей в шк.курсе математики:

1 этап (пропедевтический)(интуитивно-практический уровень без теоретического обоснования)

-дошкольное обучение: прямой и обратный счет в пределах 1-2 десятков:

-начальная школа: натуральные числа, последовательности четных/нечетн. чисел

-5-8 класс: последовательности квадратов и кубов чисел; последовательности получаемые при вычислении приближенных величин с точностью до 0.1, 0.01, 0.00 и т.д.

2 этап (основной)-знакомство с понятием последовательности, способами ее задания, подробное рассмотрение особых последовательностей-прогрессий и их применение к решению задач.

На базовом уровне рассматривают темы: числовая последовательность, арифм.прогрессия, формула n первых членов арифм.прогр., геом.прогр, формула n первых членов геом.прогр

На профильном: спосбы задания числовой послед. ее св-ва, числа Фиббоначи, предел последовательности, бесконечно убыв.геом.прогр. и ее сумм, метод мат.индукции и его применение к решению задач на послед.

3 этап (10-11 класс) – организация целостой системы знаний о послед., и их применения к решению геом., физ., эконом., и др. прикладный задач.

База: понятие о пределе последовательности, сущ.предела монотонной ограниченной послед., длина окр. и площадь круга как пределы послед., , бесконечно убыв.геом.прогр. и ее сумм

Профиль: понятие о пределе последовательности, сущ.предела монотонной ограниченной послед., теоремы о пределах последовательности.

Основные этапы формирования понятия числ.послед-ть:

1 рассмотрение задач, результатом решения кот.явл. числ.послед.

2 введение терминологии, связанной с числ.послед.

3 рассмотрение различных примеров числ.послед (описанием, формулой n члена, рекуррентный способ, графическтй а)на числовой прямой б)на координатной плоскости)

4 введение понятий беск и конечн послед

5 знакомство со способами задания числ.послед

6 введение понятий возр и убыв послед., огранич и неогранич послед.

Технологическая схема изучения прогрессий и методика её реализации 1. Рассмотрение задач, решение которых приводит к построению модели соответствующей прогрессии. 2.Определение прогрессии (учителем или учащимися), фиксирование его формулировки. 3.Выявление характеристических свойств полученной прогрессии. 4. Рассмотрение частных случаев (в зависимости от значений d/ q). 5.Исследование характера поведения прогрессии в зависимости от значений d/ q. 6.Вывод формулы общего члена прогрессии. 7.Вывод формулы суммы первых n членов прогрессии. 8.Решение учебных и познавательных задач. 9.Обобщение и систематизация знаний о прогрессиях. 10.Контроль знаний, умений и навыков учащихся на предмет соответствия требованиям стандарта.

Основные типы учебных задач темы: • задачи на применение определения; • задачи на применение формулы n-го члена; • задачи на применение формулы суммы первых n членов прогрессии; • задачи на применение характеристического свойства прогрессии. Учителю следует включить текстовые задачи следующего вида: • задачи с геометрическим, физическим, экономическим содержанием, требующие построения модели, выражающей прогрессию; • применение прогрессий при рассмотрении некоторых вопросов математики, например: 1)при обращении периодической дроби в обыкновенную; 2)при получении формулы сложных процентов; 3)при нахождении площадей фигур и объемов тел и др.