Биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение и распределение паскаля

.Содержание:

Задание 19 (на биномиальное распределение вероятности).

Задание 20 (на гипергеометрическое распределение вероятности).

Задание 21 (на распределение Паскаля или на отрицательно биномиальное распределение вероятности).

Задание 19 (на биномиальное распределение вероятности).

Пять одинаковых игральных кубиков одновременно бросили наудачу один раз. Какова вероятность того, что при этом одновременно выпадут ровно две единицы?

Решение.

Задание на схему Бернулли (повторных однородных независимых испытаний). Действительно, вместо одновременного бросания наудачу пяти одинаковых игральных кубиков мы можем считать, что мы последовательно друг за другом бросили пять раз подряд один и тот же игральный кубик. Однако вероятностная последняя модель уже изучена и является схемой повторных однородных независимых испытаний (схемой Бернулли). Действительно, результат каждого бросания кубика не зависит от других бросаний, и вероятность выпадения единицы в каждом бросании постоянна.

Тогда, согласно биномиального распределения вероятности искомая вероятность равна P(A_n,m)= p^m (1- p)^n-m. Здесь p=1\6 – вероятность выпадения единицы при каждом отдельном бросании кубика. Точнее, P(A_1,1)= p=1\6. В нашем задании n=5 и m=2, поэтому имеем P(A_5,2)=

= p² (1- p)^5-2= p² (1- p)³ =10 (1\6)² (1-1\6)³ =10 (1\6)² (5\6)³=

=10 (1\36) (125\216)= 1250/7776»0,161

Ответ: Искомая вероятность равна P(A) »0,161.

Задание 20 (на гипергеометрическое распределение вероятности).

Из непрозрачного ящика (урны) с пятью (M=5) белыми и тремя (N-M=3) черными шарами наудачу без возвращения обратно извлекли три шара. Найти вероятность извлечения при этом двух белых (m=2) и одного черного (n-m=1) шара.

Решение.

Задание 20 – на урновую схему без возвращения, ибо шары после каждого извлечения из урны не возвращались в нее обратно. Искомая вероятность будет описываться гипергеометрическим распределением вероятности. Обозначим интересующее нас событие через A_N,M,n,m.В нашем задании M=5, N-M=3, m=2, n-m=1. Решая эти уравнения, находим N=8, M=5, n =3, m=2. Подставляя это в формулу для гипергеометрического распределения вероятности, имеем P(A_N,M,n,m)== / = / = / =10×3/56=30/56= 15/28=0,534.

Ответ: Искомая вероятность равна P(A_N,M,n,m)»0,534.

Задание 21 (на распределение Паскаля или на отрицательно биномиальное распределение вероятности).

Вероятность появления единицы (события А) в результате бросания наудачу одной игральной кости (в одном опыте) равна р. Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до появления события А ровно m раз, после чего опыты прекращаются. Найти вероятность того, что опыты прекратятся после ровно n+m штук бросаний кости (тогда событие А произойдет ровно m раз и не произойдет ровно n раз), n≥0, m≥1.

Решение.

Задание - на распределение Паскаля. Обозначим вероятность интересующего нас события через P(A_n,m). Тогда, согласно распределения Паскаля искомая вероятность равна P(A_n,m)=

= p^m (1- p)ⁿ. Здесь p=1\6 – вероятность выпадения единицы при каждом отдельном бросании кубика. В нашем задании n=5 и m=2, поэтому имеем P(A_5,2)=

= p² (1- p)⁵= p² (1- p)⁵ =6 (1\6)² (1-1\6)⁵ =6 (1\6)² (5\6)⁵=

=6 (1\36) (3125\7776)= 3125/46656»0,06698.

Ответ: Искомая вероятность равна P(A_5,2)»0,067.

ЗАНЯТИЕ 11