Гипергеометрическое распределение.

ДСВ Х = m имеет геометрическое распределение с параметром p, если она принимает значения 1, 2, …, m, …(бесконечное, но счетное мн-во значений) с вероятностями P(X=m) = pq^m-1, где 0<p<1, а q = 1 – p. Ряд геометрич. распределения имеет вид:

X				…	m	…
p	p	pq	pq2	…	pqm-1	…

Определение геометрич. распределения корректно, т.к. = p + pq + pq² + …+ pq^m-1 = p(1+ q + q² +…+ q^m-1 +…) = p = p/p = 1. СВ Х равная m, имеющая геометрич. распредел., представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли с вероятностью p наступления события в кажд. испытании до первого положительного исхода. Мат. ожидание СВ Х, имеющей геометрич. распределение с параметром p равно 1/p, а дисперсия равна q/p².

ДСВ имеет гипергеометрич. распределение с параметрами n, M, N, если она принимает значения 0, 1, 2, …, min(n, M) с вероятностями P(X= m) = , где ; n, N, M — натуральные числа. Гипергеометрич. распредел. имеет случ. величина Х = m, число объектов обладающих заданным св-вом среди n объектов, случайно извлеченных без возврата из совокупности N объектов, M из кот. обладают этим св-вом. Мат. ожидание СВ, имеющей гипергеометрич. распредел. с параметрами n, N, M, вычисляется по формуле M(X) = ; D(X) = .

Закон Пуассона

ДСВ Х, кот. может принимать только целые неотрицат. значения с вероятностями P_m = P(X=m) = , называется распределенной по закону Пуассона с параметром распределения λ, где λ=np. В отличие от биномиальн. распределения здесь СВ может принимать бесконечное мн-во значений, представляющ. собой бесконечн. последовательность целых чисел(0, 1, 2, 3, … и т.д.). Закон Пуассона описывает число событий m, происходящ. за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, кот. характеризуется параметром λ=np. Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

X				…	m	…
p	e—λ	λ e—λ	(λ2 e—λ)/2!	…	(λm e—λ)/m!	…

Определение закона Пуассона корректно, т.к. выполнена. Действительно функцию e^x можно разложить в ряд, кот. сходится для любого Х. Поэтому e^λ = = 1+ λ + λ²/2! + …+ λ^m/m! +… Тогда = e^—λ = e^—λ e^λ =1. Найдем мат. ожидание и дисперсию СВ Х, распределенной по закону Пуассона. M(X) = = = = λ e^—λ = λe^—λ e^λ = λ = np. Суммирование начинается с m=1, т.к. 1-ый член суммы соответствующий m=0 равен 0. Дисперсию СВ Х найдем по формуле D(X) = M(X²) – (M(X))². M(X²) = = e^—λ = e^—λ = λ² e^—λ + λ e^—λ = λ² e^—λ e^λ + λ e^—λ e^λ = λ² +λ. Тогда D(X) = λ² +λ — λ² = λ = np. Т.о. мат. ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распределения λ.

37. Показательное распределение.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной СВ Х, которое описывается функцией плотности вероятности , где λ>0 постоянна и называется параметром показательного распределения. Примером непрерывн. СВ, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока, где λ – интенсивность потока. Найдем функцию распределения F(x) СВ, распределенной по показательному закону: F(x) = = . Итак,

Определим числовые хар-ки СВ, распределенной по показательному закону. Матем. ожидание: M(X) = = = . Дисперсия: D(X) = = = 2/λ² – 1/λ² = 1/λ². Среднеквадратическое отклонение σ(Х) = 1/λ и, следовательно, совпадает с мат. ожиданием.