Индуктивность при гармоническом воздействии
Пусть ток, протекающий по индуктивности, изменяется по гармоническому закону , где , — действующее значение и начальная фаза тока.
Используя связь между током и напряжением индуктивности, определяемую законом Фарадея, найдем мгновенное напряжение на индуктивности
, (4.19)
где , — действующее значение и начальная фаза напряжения на индуктивности.
Из (4.19) видно, что напряжение на индуктивности изменяется по гармоническому закону, а его начальная фаза больше начальной фазы тока на . Следовательно, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°. Действующее значение напряжения на индуктивности пропорционально действующему значению тока, частоте и значению индуктивности.
Определим мгновенную мощность индуктивности
.
Мгновенная мощность индуктивности представляет собой гармоническую функцию с частотой , которая аналогична мгновенной мощности емкости.
На рис. 4.16 изображены временные диаграммы напряжения, тока и мощности индуктивности. Когда ток и напряжение индуктивности одновременно положительны или отрицательны, имеет место положительный полупериод мощности, в течение которого индуктивность накапливает энергию магнитного поля. Когда ток и напряжение индуктивности имеют разные знаки, то имеет место отрицательный полупериод мощности, в течение которого индуктивность отдает энергию магнитного поля. В результате, среднее значение мощность за период равно нулю, что соответствует реактивному характеру сопротивления индуктивности.
Заменим в (4.19) вещественные функции напряжения и тока их изображениями в показательной форме записи и , получаем уравнение:
;
.
Сокращая оператор вращения и учитывая, что и , найдём комплексную амплитуду напряжения
,
где и — модуль и начальная фаза комплексной амплитуды напряжения индуктивности.
Поделив левую и правую части уравнения на и учитывая, что , находим комплексное действующее значение тока напряжения индуктивности
,
где , — модуль и аргумент комплексного действующее значение напряжения, которые совпадают с аналогичными значениями, найденными ранее путём преобразования вещественных функций.
Векторная диаграмма комплексных тока и напряжения индуктивности показана на рис. 4.17. Вектор напряжения повернут относительно вектора тока на угол 90°против часовой стрелки, поскольку напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на .
Найдем комплексное сопротивление индуктивности
и комплексную проводимость индуктивности
.
и запишем их в показательной и алгебраической форме:
, .
Определим модуль, аргумент, вещественную и мнимую части комплексного сопротивления:
, ;
, ,
и комплексной проводимости индуктивности:
;
, , .
Модуль сопротивления индуктивности изменяется прямо пропорционально частоте, а аргумент является положительным и не зависит от частоты (рис. 4.18).
На комплексной плоскости комплексные сопротивление и проводимость индуктивности изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительной и отрицательной мнимых полуосей (рис. 4.19 а, б). Комплексная схема замещения индуктивности в виде комплексного сопротивления показана на рис. 4.19,в.
Рис. 4.19
Полученные выше соотношения показывают, что комплексные сопротивления и проводимости идеализированных реактивных элементов не зависят от амплитуды (действующего значения) и начальной фазы внешнего воздействия и определяются только параметрами этих элементов и частотой внешнего воздействия.