Прямая геодезическая задача на плоскости
В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.
Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (2.7):
(2.8)
Обратная геодезическая задача на плоскости
Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис.2.5).
Рис.2.5
Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ΔX = X2 - X1, ΔY = Y2 - Y1 ), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.
Если Δ X 
00 и Δ Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:
(2.9)
(2.10)
Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (1.22) находим:
(2.11)
Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:
определение номера четверти по знакам приращений координат Δ>X и ΔY (рис.1.4-а),
вычисление α по формулам связи (1.22) в соответствии с номером четверти.
Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:
(2.12)
Если ΔX = 0.0 , то
S = іΔYі;
и α = 90o 00' 00" при ΔY > 0 ,
α = 270o 00' 00" при ΔY < 0 .
Если ΔY = 0.0 , то
S = іΔXі
и α = 0o 00' 00" при ΔX > 0 ,
α = 180o 00' 00" при ΔX < 0 .
Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль:
(2.13)
если ΔY => 0o , то α = a ,
если ΔY < 0o , то α = 360o - a .
Прямая угловая засечка
Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).
Рис.2.6
Исходные данные: XA, YA, αAC,
XB, YB, αBD
Измеряемые элементы: β 1 , β2
Неизвестные элементы: X , Y
Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .
Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP ; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.
Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:
вычислить дирекционные углы линий AP и BP
(2.14) ,
(2.15)
написать два уравнения прямых линий
для линии AP Y - YA= tgα1 * ( X - XA ),
для линии BP Y - YB= tgα2 * ( X - XB ) (2.16)
решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:
(2.17) ,
(2.18)
Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 - правый, а угол β2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.
Рис.2.7
Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:
решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB и длину b линии AB,
вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,
(2.19)
используя теорему синусов для треугольника APB:
(2.20)
вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2) ,
вычислить дирекционные углы α1 и α2:
(2.21)
решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.
Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:
(2.22)
От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B
BAP = αAB - ( αAC + β1 ) и ABP = ( αBD + β2 ) - αBA .
Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:
вычисление дирекционных углов α1 и α2 ,
введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):
X'A = 0 , Y'A = 0 ,
(2.23) ,
(2.24) ,
запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y' :
(2.26)
Рис.2.8
и совместное решение этих уравнений:
(2.27)
перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:
(2.28)
Так как Ctgα2' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.
Линейная засечка
От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P .
Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).
Исходные данные: XA, YA, XB, YB,
Измеряемые элементы: S1, S2,
Неизвестные элементы: X, Y.
Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.
Рис.2.9
Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:
решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,
вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:
(2.29)
вычисление угла засечки γ
(2.30)
вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:
пункт P справа от линии AB
(2.31)
пункт P слева от линии АВ
(2.32)
решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:
1-е решение
(2.33)
2-е решение
(2.34)
Результаты обоих решений должны совпадать.
Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:
решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,
введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':
(2.35)
запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':
(2.36)
и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:
(2.37)
откуда
(2.38)
и
(2.39)
Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак "-", если справа, то "+".
пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):
Обратная угловая засечка
К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.
Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).
Рис.2.10
Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:
(2.41)
Уравнение окружности имеет вид:
(2.42)
где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.
Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).
Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.
Исходные данные: XA, YA, XB,
YB, XC, YC;
Измеряемые элементы: β1, β2.
Неизвестные элементы: X, Y.
Рис.2.11
Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.
Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):
(2.43)
Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.
Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.
Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.
Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.
Комбинированные засечки
В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.
На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.
Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.
При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.
Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки ( n измерений ) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек ( их число равно n-1 ), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.
Ошибка положения точки
В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале ( X - t * mx ) - ( X + t * mx ), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.
В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp.
Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис.2.12а); для измеренного угла β с вершиной в исходном пункте A - прямая линия, проведенная под углом β к исходной линии AB (рис.2.12б).
Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms - это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами ( S - ms ) и ( S + ms ); для угла β, измеренного с ошибкой mβ - это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mβ. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.2.12).
Рис.2.12. Линия положения и "полоса положения" точки P:
а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.
Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vβ направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль νβ = S * mβ / ρ, где S = A * P.
Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.2.13).
Рис.2.13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,
Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям.
Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части (рис.2.14-а), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах γ и ( 180o - γ ), где γ( 180o - γ ) - угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов ν1 и ν2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам (рис.2.14-а):
(2.44)
Рис.2.14
По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними γ( 180o - γ ) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой - d1 и длинной - d2:
Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис.2.14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.
Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить:
как радиус круга R, площадь которого ( π * R2 ) равна площади параллелограмма положения точки P ( 4 * a * b * Sinγ),
(2.45)
как ошибку положения по "наиболее слабому направлению", совпадающему с направлением длинной диагонали:
(2.46)
как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:
(2.47)
На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:
полярная засечка (рис.2.4):
(2.48)
прямая угловая засечка (рис.2.6, 2.7):
(2.49)
линейная засечка (рис.2.9):
(2.50)
обратная угловая засечка (рис.2.11).
В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:
ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B ( mO1 ),
ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C ( mO2 ),
ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 ( mP ),
(2.50a)
Угол засечки γ зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов β1 и β2; для рис.2.11 этот угол вычисляется по формуле:
(2.51)
Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как "эллипс ошибок" (кривая 2-го порядка), "подера эллипса ошибок" (кривая 4-го порядка) и др. [22].
При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник (рис.2.14-б). Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 2.14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.