К выполнению контрольной работы
Казань 2017
ТЕМА 6. Интегральное исчисление функции одной Переменной
Неопределенный интеграл. Основные понятия
Определение. Неопределенным интегралом от функции называется выражение вида
если
. Функция
называется первообразной для заданной функции
.
Например, если , то
.
Свойства неопределенного интеграла
1)
2)
3)
4) , где A ≠ 0.
5)
Таблица основных неопределенных интегралов
1. где
(
).
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Методы интегрирования
При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.
1) Если то
(1)
где а и b–некоторые постоянные.
2) Подведение под знак дифференциала:
(2)
так как
3) Формула интегрирования по частям:
(3)
Обычно выражение выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За
, как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к ее упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида
, где
–многочлен от х.
4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов и
(соответственно
й и n
й степени):
сводится к разложению подынтегральной функции
на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида:
, (4)
где l и m –целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби (
) должна быть предварительно выделена целая часть.
5) Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной х к новой переменой t: . Наиболее целесообразная для данного интеграла замена переменной, т.е. выбор функции
, не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки:
где R– символ рациональной функции.
6.5. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:
(5)
если и первообразная
непрерывна на отрезке
.
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
x = a, x = b, y = 0 и частью графика функции взятой со знаком плюс, если
, и со знаком минус, если
.
6.6. Решение типового задания
Пример 1. Найти .
Решение. Так как то, используя формулы (1), получим
Проверка:
Пример 2. Найти .
Решение. Так как , то по формуле (2) находим
Пример 3. Найти .
Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим ,
тогда
. Используя формулу (3), имеем
.
Пример 4. Найти .
Решение. Подынтегральная рациональная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):
.
Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов :
.
Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая х=2 (корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества, например и
при:
Решение этой системы дает: . Таким образом,
.
Пример 5. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Применим метод замены переменной; положим , откуда
. Найдем пределы интегрирования по переменой t: при
имеем
, а при
имеем
. Переходя в исходном интеграле к новой переменной
и применяя формулу Ньютона-Лейбница (5), получаем:
.
Задачи 181-210:
Вычислите неопределенные интегралы:
181. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
182. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
183. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
184. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
185. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
186. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
187. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
188. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
189. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
190. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
191. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
192. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
193. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
194. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
195. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
196. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
197. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
198. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
199. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
200. а) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
201. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
202. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
203. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
204. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
205. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
206. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
207. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
208. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
209. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
210. a) ![]() | б) ![]() | в) ![]() |
Задачи 211-240:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями: Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.
211. ![]() ![]() | 226. ![]() ![]() |
212. ![]() ![]() | 227. ![]() ![]() |
213. ![]() ![]() | 228. ![]() ![]() |
214. ![]() ![]() | 229. ![]() ![]() |
215. ![]() ![]() | 230. ![]() ![]() |
216. ![]() ![]() | 231. ![]() ![]() |
217. ![]() ![]() | 232. ![]() ![]() |
218. ![]() ![]() | 233. ![]() ![]() |
219. ![]() ![]() | 234. ![]() ![]() |
220. ![]() ![]() | 235. ![]() ![]() |
211. ![]() ![]() | 236. ![]() ![]() |
222. ![]() ![]() | 237. ![]() ![]() |
223. ![]() ![]() | 238. ![]() ![]() |
224. ![]() ![]() | 239. ![]() ![]() |
225. ![]() ![]() | 240. ![]() ![]() |