Производные обратных тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Упражнения: Вычислить производные функций:

1. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 2. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 3. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 4. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 5. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 6. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 7. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 8. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 9. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 10. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 11. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 12. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 13. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru

11. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Геометрический смысл производной функции

Рассмотрим функцию Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

На графике функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru возьмем фиксированную точку Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru и произвольную точку Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Проведем секущую Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Если точку М неограниченно приближать к точке М0 по графику функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , то секущая М0М будет занимать различные положения и при совпадении точки М с точкой М0 секущая займет предельное положение М0Т, тогда прямая М0Т будет касательной к графику функции в точке М0.

Определение: Касательной к графику функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru в точке М0 называется предельное положение М0Т секущей Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru при стремлении точки М по графику к точке М0 .

b - угол наклона секущей М0М к положительному направлению оси абсцисс.

a -угол наклона касательной М0Т к положительному направлению оси абсцисс.

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - угловой коэффициент секущей М0М.

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - угловой коэффициент касательной М0Т.

Рассмотрим прямоугольный треугольник М0МА ( Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ). Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , то есть Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . А, значит, Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Определим производную функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru в точке х0: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , следовательно, Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Вывод: Геометрический смысл производной функциисостоит в том, чтопроизводная функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru при Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru

Пример:

1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru в точках Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

2. Найти угол наклона касательной, проведенной к графику функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru в точке с абсциссой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Упражнения:

1. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru в точке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ?

2. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru образует угол в 135º с осью Ох.

3. В какой точке касательная к кривой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru наклонена к оси Ох под углом Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ?

4. В какой точке касательная к параболе Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru параллельна прямой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; перпендикулярна прямой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ?

5. Определить, в какой точке касательная к параболе Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru параллельна прямой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

6. Определить, в какой точке касательная к параболе Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru перпендикулярна прямой Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

12. Признаки постоянства, возрастания, убывания функции

Теорема:

1. Если функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru имеет положительную производную, то функция на этом отрезке возрастает.

2. Если функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru имеет отрицательную производную, то функция на этом отрезке убывает.

3. Если функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru имеет равную нулю производную, то функция на этом отрезке постоянна.

Пример: Определить интервалы возрастания и убывания функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

1. Найдем область определения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru : Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

2. Вычислим производную функции: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

3. Определим значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

4. Определим знак производной в интервалах, на которые область определения разбивается значением аргумента Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , и характер монотонности функции в этих интервалах:

х Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru
Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - +
у  

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru у - убывает; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru у - возрастает.

Пример: Исследовать на монотонность функцию Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

1. Найдем область определения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru : Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

2. Вычислим производную функции: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

3. Определим значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

4. Определим знак производной в интервалах, на которые область определения разбивается значениями аргумента Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , и характер монотонности функции в этих интервалах:

х Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - 2 Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru
Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru + - +
у  

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru у - возрастает; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru у - убывает.

Упражнения: Исследовать на монотонность функции:

1. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 2. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 3. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru 4. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 5. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 6. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 7. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 8. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; 9. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

13. Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум

Рассматривая поведение функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ruна интервале Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , обратим внимание на то, что при некоторых значениях аргумента х1, х2, х3 функция принимает либо наибольшее, либо наименьшее значения по сравнению с ее значениями слева и справа от этих значений аргумента. Для пояснения этой особенности функции введем понятия максимума и минимума функции.

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru

Определение: Значение аргумента х0 называется точкой максимума функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , если для всех значений аргумента х в окрестности х0 выполняется неравенство Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Рис. 1.

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Определение: Значение аргумента х0 называется точкой минимума функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , если для всех значений аргумента х в окрестности х0 выполняется неравенство Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Рис. 2.

Рис. 1. Рис. 2.

Замечание: Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (extremum – крайний), а значения функции в этих точках – экстремальными (максимальными и минимальными).

Установим необходимое условие существования экстремума.

Теорема Ферма: Если внутренняя точка х0 из области определения непрерывной функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю.

Замечание: Однако равенство нулю производной функции в точке х0 еще не дает права утверждать, что х0 –точка экстремума функции.

Пример:

  1. Функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru имеет производную Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , которая обращается в нуль при х = 0. Но в этой точке функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru (кубическая парабола) экстремума не имеет.
  2. Функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru имеет производную Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , которая обращается в нуль при х = 0. В этой точке функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru (парабола) имеет минимум.

Определение: Значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в данной точке, необходимо воспользоваться достаточными условиями существования экстремума.

Теорема: Значение аргумента х0 является точкой экстремума функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , если производная Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , равная нулю в точке х0, при переходе через х0 меняет знак. При перемене знака с «+» на «–» точка х0 является точкой максимума. При перемене знака с «–» на «+» точка х0 является точкой минимума. Если же производная Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru при переходе через х0 не меняет знака, то х0 не является точкой экстремума.

План исследования функции на монотонность и существование точек экстремума

1. Найти область определения функции.

2. Вычислить производную функции.

3. Найти критические точки функции, приравняв производную функции к нулю и решив полученное уравнение.

4. Определить знак производной функции слева и справа от критических точек.

5. Определить характер монотонности функции в полученных интервалах области определения функции и экстремумы функции, если они есть.

6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример: Исследовать на экстремум функцию Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

1. Найдем область определения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru : Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

2. Вычислим производную функции: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

3. Найдем критические точки функции, то есть значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

4. Определим знак производной слева и справа от критических точек Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , и характер монотонности функции в полученных интервалах:

х Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru
Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru + - +
у max min

5. Определим точки экстремума функции и экстремальные значения функции:

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Упражнения: Исследовать на монотонность и существование точек экстремума функции:

  1. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  2. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  3. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  1. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  2. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  3. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  1. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  2. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;
  3. Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru

14. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке

Замечание:

  1. Точки максимума и минимума функции называют локальными экстремумами функции, так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек.
  2. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке называют глобальными экстремумами функции.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

Теорема Вейерштрасса: Непрерывная на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru Для случая, когда функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru не только непрерывна на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru, но имеет на этом отрезке конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Предположим, сначала, что Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru не имеет на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ruкритических точек. Тогда она возрастает (Рис.1.) или убывает (Рис.2.) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - это значения в концах a и b.

Рис.1. Рис. 2.

Пусть теперь функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru имеет на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ruконечное числокритических точек. Эти точки разбивают отрезок Производные обратных тригонометрических функций - student2.ruна конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на таких отрезках принимаются в их концах, то есть в критических точках функции или в точках а и b.

Вывод: Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

1) Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

2) Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - критическая точка, Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - критическая точка, Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

3) Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

4) Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Упражнения:

  1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на отрезке Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Изложенный метод поиска наибольшего и наименьшего значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1. Этап формализации: Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирается удобный параметр х, через который исследуемая величина выражается как функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

2. Этап решения математической задачи: Средствами математического анализа находится наибольшее или наименьшее значение функции на некотором промежутке.

3. Этап интерпретации найденного решения: Найденное решение «переводится» с языка математики в терминах первоначальной задачи.

Пример: Из квадратного листа жести со стороной «а» надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?

Решение:

х – длина стороны основания коробки;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru – длина стороны вырезанного квадратика;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru – объем коробки

По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , то есть Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Таким образом, данная прикладная задача сведена к математической задаче:

найти наибольшее значение функции Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на интервале Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

       
  Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru
    Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru
 

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; х = 0; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru достигает своего наибольшего значения внутри отрезка Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , следовательно, и внутри интервала Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Так как х – длина стороны основания коробки, имеющей при заданных условиях максимально возможный объем, то максимальный объем, равный Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , имеет коробка со стороной основания Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Пример: Число 36 разделить на такие две части, произведение которых давало бы наибольшее значение.

Решение:

х - первая часть числа 36; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru - вторая часть числа 36;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru , Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ;

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru ; Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Функция Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru на интервале Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru принимает положительные значения, следовательно, наибольшее значение функция принимает при Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru . Число 36 надо разделить на две равные части, произведение которых даст наибольшее значение.

Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Ответ: Производные обратных тригонометрических функций - student2.ru .

Упражнения:

Наши рекомендации