Основные законы распределения

6.1.Случайная величина x равномерно распределена на [1,5]. Найти плотность вероятности этой случайной величины, её математическое ожидание, средне квадратическое отклонение и функцию распределения.

6.2.Случайная величина x равномерно распределена на [0,6].Найти: а) плотность распределения f(х); б) М [x], ; в) функцию распределения F(х); г) Р (xÎ[ 2, 3]).

6.3. Автобусы идут с интервалом 10 минут. Человек приходит на остановку в случайный момент времени. Найти математическое ожидание и дисперсию времени ожидания, вероятность того, что автобус придется ждать более шести минут.

6.4. Цена деления амперметра равна 0,1А. Показания округ­ляются до ближайшего целого деления. Найти вероят­ность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02А.

Указание. Ошибку округления отсчета можно рассматри­вать как случайную величину x, которая распределена равно­мерно в интервале между двумя соседними целыми делениями.

6.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньше 0,04; б) больше 0,05.

6.6. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти закон распределения случайной величины x – числа годных деталей из 5, выбранных наугад.

6.7. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

6.8. Цех, выпускающий электробритвы, дает в среднем 10% брака. Найти математическое ожидание и дисперсию количества бракованных экземпляров среди 30 наугад выбранных бритв.

6.9. В среднем около 20% клиентов, обратившихся в фирму "Турсервис", оказываются недовольными уровнем обслуживания в этой фирме. Найти: а) закон и функцию распределения числа недовольных среди трех случайным образом выбранных клиентов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.10. На вход АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью l = 12 вызовов в минуту. Какова вероятность того, что: а) за 10 секунд поступит не менее одного вызова; б) за 30 секунд – не менее двух вызовов.

6.11. На диспетчерский пункт мастерской по ремонту телевизоров поступает простейший поток заказов на ремонт телевизоров, с интенсивностью l = 4 заявки в час. Какова вероятность того, что за 30 минут поступит хотя бы один заказ.

6.12. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчер­ский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

6.13. В СМО поступает простейший поток требований с интен­сивностью l = 4 требования в минуту. Какова вероят­ность того, что за 30 секунд не поступит ни одного требования?

6.14. В СМО поступает простейший поток требований с интен­сивностью l = 50 требования в час. Какова вероятность того, что за 6 минут поступит не менее двух требований?

6.15. По ГОСТу серийно изготовляемая лампа рассчитана на 4000 часов безотказной работы. Какова вероятность того, что она будет исправной не менее 4500 часов?

6.16. Средняя продолжительность горения лампы составляет 450 часов. Какова вероятность того, что лампа безотказно проработает не менее 400 часов.

6.17. Испытывают два независимо работающих элемента. Дли­тельность безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго – . Найти вероятность того, что за время длительностью t = 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

6.18. Продолжительность телефонного разговора – показатель­ная случайная величина. Какова вероятность того, что продолжительность телефонного разговора будет: а) не более 6 минут; б) не менее 3 минут, если среднее время телефонного разговора равно трем минутам.

6.19. Случайная величина x распределена по нормальному закону с параметрами а = 4, s = 1. Построить график плотности вероятности f (x). Найти: а) P (1 < x < 5); б) P (2 < x < 6).

6.20. Случайная величина x распределена по нормальному закону с параметрами а, s = 2. Найти: а) P(| x – a | < 1); б) P(| x – a | < 1,5).

6.21. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распреде­лен по нормальному закону с параметрами: а=5 см, s=0,9 см. найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

6.22. Производится измерение диаметра вала без систематиче­ских ошибок. Случайные ошибки x подчинены нормаль­ному закону со средним квадратическим отклонением (СКО) s = 10 мм. найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по аб­солютной величине 15 мм.

6.23. СКО прибора равно 2 микрона. Проводится одно измерение. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка не больше 0,5 микрона?

6.24. СКО прибора равно 2 микрона. Проводится n = 25 неза­висимых измерений и принимают . Какова вероятность того, что абсолютная ошибка не больше 0,5 микрона?

6.25. СКО прибора 0,03 ампера. Сколько достаточно провести независимых измерений, чтобы с вероятностью 0,95 их среднее арифметическое отличалось от истинного значения меньше, чем на 0,01 ампера?

6.26. Нагрузка на стержень подчинена нормальному закону с параметрами а = 10 м, s = 0,1 м. Разрушающее усилие 10,05 м. Какова вероятность разрушения стержня?

6.27. Длина детали, изготавливаемой на автоматическом станке, является случайной величиной, распреде-ленной по нормальному закону с параметрами а = 20, s = 0,2. Найти вероятность того, что длина детали будет находится в интервале (19,7; 20,3). Какую точность изготовления можно гарантировать с вероятностью 0,9?

6.28. Производится взвешивание некоторого вещества без сис­тематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону с СКО s=20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произве­дено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной вели­чине 10 г.

6.29. Изделие, изготовляемое автоматом, считается годным, если отклонение его контролируемого размера от проектного не превы­шает 10мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону с СКО s= 5 мм и а =0. Сколько процентов годных изделий в среднем изготавливает автомат?

6.30. Завод изготавливает шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d₀= 5 мм. Фактический диаметр – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним d₀ и СКО s = 0,05 мм. При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0,1 мм. Определить какой процент шариков в среднем будет отбраковываться.

6.31. Произведено 100 независимых измерений некоторой величины. Какова вероятность того, что их среднее арифметическое отличается от истинного значения менее чем на 0,05 мм? СКО прибора s = 0,1 мм.

6.32. СКО прибора 0,1 микрона. Сколько достаточно измерений, чтобы с вероятностью 0,98 их среднее арифметическое отличалось от истинного значения меньше, чем на 0,3 микрона?