Определение абсолютного ускорения точки.

Теорема сложения ускорений (метод полюса) Графическое нахождение Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru из векторного уравнения Аналитическое нахождение Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru из векторного уравнения
Абсолютное ускорение Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru любой точки B тела равно векторной сумме ускорения Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru полюса A и ускорения Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru точки B в относительном движении точки вокруг полюса A: Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , или Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (1) Вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (нормальное ускорение точки B в движении вокруг полюса A) направлен от точки B к полюсу A. Модуль Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (касательное ускорение точки B в движении вокруг полюса A) Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru AB. Модуль Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru Находим (если это возможно) векторы, содержащиеся в правой части (1). Выбираем масштаб и в соответствии с уравнением (1) строим векторный многоугольник. Вектор, проведенный из начала первого в конец последнего вектора, дает абсолютное ускорение Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru точки.   Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru Выбираем оси координат и проектируем уравнение (1) на эти оси: Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (2) Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (3) Решая (2), (3) и учитывая, что точка B, кроме звена AB, принадлежит еще ползуну или кривошипу, находим Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Тогда Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru .  

Пример К4. Механизм (рис. К4a) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.

Дано: Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru ,AD=DB, Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (направления Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru – против хода часовой стрелки).

Определить:VB, VE, w2, aB, e3.

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru

Рис. K4a Рис. K4б

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с задан­ными углами и длинами стержней (рис. К4б; на этом рисунке в процессе решения задачи изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем VB. Точка B принадлежит стержню 3, совершающему плоскопараллельное движение. Чтобы найти Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , нужно знать направление Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и скорость другой точки звена 3. Такой точкой является точка A, принадлежащая еще звену 1 (звено вращается, см. задачу К2).

VA = w1l1 = 0,8 м/c; Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (1)

Направление Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru найдем, учитывая, что точка B принадлежит одно­временно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и направление Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня 3) на прямую, соединяющую эти точки (прямая AB). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и VB = 0,46 м/c. (2)

3. Определяем Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Точка Е принадлежит стержню 2, совершающему плоскопараллельное движение. Следова­тельно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню 3. Для этого, зная Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка C3, лежащая на пересечении перпендикуляров к Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , восставленных из точек A и B. По направлению вектора Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru определяем направление мгновенного поворота стержня 3 вокруг МЦС C3. Вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и C3, и направлен в сторону мгновенного поворота тела. Величину VD найдем из пропорции

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (3)

Чтобы вычислить C3D и С3B, заметим, что DAC3B – прямоуголь­ный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Тогда DBC3D является равносторонним и C3B = С3D. В результате равенство (3) дает

VD = VB = 0,46 м/c; Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню 4, вращающемуся вокруг O2, то Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . В точках Е и D построим перпендикуляры к скоростям Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , получим точку С2 – МЦС стержня 2. По направлению вектора Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru определяем направление мгновенного поворота стерж­ня 2 вокруг центра С2. Вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К4б видно, что Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , откуда С2E=C2D. Составив теперь пропорцию, найдем, что

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , VE = VD = 0,46 м/c. (5)

4. Определяем w2. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , то

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (6)

5. Определяем Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru(рис. К4в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка B принадлежит стержню 3. Чтобы найти Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , надо знать траекторию точки B и ускорение какой-нибудь дру­гой точки стержня 3. Такой точкой является точка A, принадлежащая еще звену 1. Следовательно, Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , где чис­ленно

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru ; Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (7)

Вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru направлен вдоль AO1, а Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru – перпендикулярно AO1; изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. К4в). Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru параллелен направ­ляющим ползуна. Изображаем вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Для определения Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru воспользуемся равенством (A – полюс): Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (8) Изображаем на чертеже в точке B векторы: Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (переносное ускоре-ние точки B), Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (вдоль ВА от В к А)   Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru     Рис. K4в

и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Найдя w3 с помощью построенного МЦС C3 стержня 3, получим

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения aB и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru ; их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить aB, спроектируем обе части равенства (8) на направление ВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Тогда получим

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (11)

Так как aB>0, то вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru направлен, как показано на рис. К4в.

6. Определяем e3. Чтобы найти e3, сначала определим Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Знак указывает, что направ­ление Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru противоположно направлению, показанному на рис. К4в.

Из равенства Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru получим Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru .

Ответ:VB =0,46 м/c; VE =0,46 м/c; w2= 0,67 c-1; Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru ; e3= 2,56 c-2.

Примечание. Если точкаВ, ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. К4.0-К4.4, где В принадлежит вращающемуся звену 4 и движется по окружности радиуса O2B), то направление Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru заранее неизвестно. В этом случае Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru также следует представить двумя составляющими ( Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru ) и исходное уравнение (8) примет вид

Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . (13)

При этом вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru (см., например, рис. К4.0) будет направлен вдоль BO2, а вектор Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru – перпендикулярно BO2 в любую сторону. Числовые значения Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru определяются так же, как в рассмотренном приме­ре (в частности, по условиям задачи может быть Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru или Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , если точка А движется прямолинейно).

Значение Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru также вычисляется по формуле Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , где l – радиус окружности O2B, а VB определяется так же, как ско­рость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru , можем вычислить искомое ускорение Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru . Величина Определение абсолютного ускорения точки. - student2.ru служит для нахождения eAB (как в рассмотренном примере).

Вопросы для самоконтроля по кинематике

1. Векторный способ задания движения точки. Определение скорости при векторном способе задания движения точки.

2. Векторный способ задания движения точки. Определение ускорения точки.

3. Координатный способ задания движения точки. Определение траектории и скорости точки (величины и направления).

4. Координатный способ задания движения точки. Определение ускорения точки (величины и направления).

5. Естественный способ задания движения точки. Определение скорости точки.

6. Естественный способ задания движения точки. Касательное, нормальное, полное ускорения (физический смысл, величина, направление).

7. Поступательное движение твердого тела (определение). Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела. Задание движения тела.

8. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (определение). Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость и угловое ускорение тела. Определение характера вращения тела.

9. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

10.Угловая скорость тела как вектор.

11.Составное движение точки. Переносное, относительное, абсолютное движения точки (определения).

12.Составное движение точки. Переносная, относительная, абсолютная скорости точки (определения). Теорема сложения скоростей.

13.Составное движение точки. Переносное, относительное, абсолютное ускорения точки (определения). Теорема сложения ускорений в общем случае (теорема Кориолиса).

14.Определение величины и направления ускорения Кориолиса. Случаи равенства нулю ускорения Кориолиса.

15.Плоскопараллельное (плоское) движение тела (определение). Уравнения движения тела. Разложение движения на простые. Независимость угловых параметров от выбора полюса.

16.Определение абсолютной скорости точки тела методом полюса при плоском движении тела. Теорема о проекциях скоростей точек тела на прямую, проходящую через эти точки.

17.Мгновенный центр скоростей тела, совершающего плоское движение (определение). Нахождение мгновенного центра скоростей тела.

18.Мгновенный центр скоростей тела; определение абсолютной скорости любой точки тела; определение угловой скорости тела при плоском движении тела.

19.Частные случаи нахождения мгновенного центра скоростей тела при плоском движении тела.

20.Определение абсолютного ускорения точки тела методом полюса при плоском движении тела.

ДИНАМИКА

Динамика изучает движение материальных точек и механических систем с учетом сил, которые влияют на это движение.

Наши рекомендации