Уравнения со специальной правой частью

В двух частных случаях, когда правая часть уравнения (2.14) имеет вид , где - многочлен -й степени, - число, или , где - многочлены степени и , соответственно, - числа, частное решение уравнения (2.14) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

А именно, пусть правая часть имеет вид . Если не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (2.26)

где - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, которые надо найти. Для чего, вычисляя с помощью (2.26) и подставляя в исходное уравнение (2.14), сокращаем правую и левую части на . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов. Подставив их в (2.26), будем иметь искомое частное решение .

Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде

. (2.27)

Дальнейшие действия аналогичны предыдущему случаю.

Пусть теперь правая часть уравнения (2.14) имеет вид .

Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

, (2.28)

где , и многочлены одной и той же степени , но с разными неопределенными коэффициентами, которые находятся так же как и в первом случае.

Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то выражение для частного решения (2.28) домножается на , а именно

, (2.29)

где , , те же, что и выше.

Замечание 1. Если в правой части один из многочленов или нулевой (т.е. или ), то вид частного решения не меняется, т.е. ищется в форме (2.28) или (2.29).

Замечание 2. Многочлены с неопределенными коэффициентами четвертой, третьей, второй, первой, нулевой степени имеют вид:

где неопределенные коэффициенты; многочлены и выписываются аналогично .

Примеры.

1. Для каждого из данных неоднородных дифференциальных уравнений написать вид его общего и частного решений с неопределенными коэффициентами (числовые значения коэффициентов не находить):

а) ,

б) .

2. Найти общие решения следующих уравнений:

в) ,

г) .

Решения.

а) Рассмотрим уравнение . Ищем общее решение в виде . Характеристическое уравнение имеет корни , т.е. кратность корня равна 2. Согласно формуле (2.25) общее решение соответствующего однородного уравнения .

Для того, чтобы выписать частное решение проанализируем правую часть , где многочлен 1-й степени, т.е. , тогда , т.е. совпадает с одним корнем кратности 2 характеристического уравнения, следовательно, имеет место формула (2.27): , где и неопределенные коэффициенты. Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

б) Для уравнения соответствующее характеристическое уравнение имеет кратные корни , , т.е. . Согласно формуле (2.24) с учетом кратности корней получим общее решение соответствующего однородного уравнения

Для того, чтобы выписать частное решение анализируем правую часть , где т.е. . Следовательно, многочлены с неопределенными коэффициентами и имеют одну и ту же степень , но разные коэффициенты, т.е. . Составим число (так как ), поскольку не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде (2.28) , а общее решение есть

.

в) Общее решение уравнения ищется в виде . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения есть .

Правая часть неоднородного уравнения , где , откуда совпадает с одним корнем характеристического уравнения , следовательно, по формуле (2.27) частное решение имеет вид: , где неопределенный коэффициент. Найдем его методом неопределенных коэффициентов, для чего, подставив , в исходное уравнение, будем иметь . Сократим последнее уравнение на , получим . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

.

Так как неопределенный коэффициент найден, , то частное решение имеет вид: , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме:

.

г) Уравнение это уравнение с правой частью второго типа, его общее решение ищется в виде .

Характеристическое уравнение имеет корни

.

Общее решение однородного уравнения выписывается по формуле (2.23):

.

Для отыскания частного решения анализируем правую часть , здесь тогда число не совпадает с корнями характеристического уравнения, следовательно, выписываем по формуле (2.28): .

Неопределенные коэффициенты и находятся так:

1) Считаем .

2) Подставляем в исходное уравнение:

или .

3) Приравнивая коэффициенты при и , стоящие в правой и левой частях последнего уравнения, получим систему для определения коэффициентов и :

.

4) Итак, частное решение имеет вид , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме:

2.3.10. Примеры для самостоятельного решения

1. Для каждого из данных неоднородных дифференциальных уравнений написать вид его частного решения с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить).

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

2. Найти общие решения следующих уравнений.

д) , ж) ,

е) , з) .