Глава 1. Математическая формулировка задачи
На примере мостичного амортизатора ставится задача выяснить особенности его состояния при симметричном статическом нагружении вертикальной нагрузкой.
Основные зависимости для арки-полоски
Рис. 3. Арка-полоска |
Рассмотрим задачу о цилиндрическом изгибе арки-полоски (рис. 3).
Отнесем ее к материальным координатам:
.
Будем считать:
Рис. 4 |
Таким образом, рассмматривается одномерная, не зависящая от , деформация амортизатора, поэтому можно считать его длину (по единичной). Индексом снабжаются величины недеформированной конфигурации.
Из рис. 4 видно, что ( :
.
Здесь:
– кратность удлинения дуги в плоскости .
Используется модифицированная геометрическая гипотеза Кирхгофа [3]: материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальным к ней и после деформации, удлиняясь по линейному закону.
Для описания упругих свойств эластомеров из несжимаемого материала используется модель трехконстантного потенциала [4]:
Этому материалу в главных осях деформации отвечает закон упругости:
.
Здесь – энергия упругой деформации, – начальный модуль сдвига, где E – модуль Юнга, – главная кратность удлинения, – напряжение, p – сила, обеспечивающая несжимаемость материала, а и – безразмерные константы материала. Далее в работе будет рассматриваться модель двухконстантного материала, то есть . Константы и будут равны и соответственно.
Уравнения равновесия для мостичного амортизатора принимают вид:
Для изотропно упругого материала определяющие соотношения имеют вид:
Рис. 5 |
Где – усилие, прикладываемая по касательной к срединой линии в подвижной системе координат, – усилие, прикладываемое по нормали к срединой линии в подвижной системе координат, – изгибающий момент, и – проекции внешней нагрузки в подвижной системе координат.
Перепишем усилия (рис. 5) в проекции на и :
Введя перемещения:
и угол поворота:
(1.1) | |
составим системы уравнений, описывающие деформацию амортизатора:
(1.2) | |
– геометричекие соотношения | |
. |
Где и – перемещение по осям и соответственно, – угол поворота, – изменение кривизны, и – углы между нормалью и осью до и после деформации соответственно, – константа материала, – толщина боковой пластины, – высота амортизатора в недеформированном состоянии, и – координаты до деформации.
Так как амортизатор представляет собой две симметричные пластины из эластомеров, верхние индексы и будут обозначать левую и правую пластины соответственно. Для определенности Граничные условия для данной задачи будут выглядеть следующим образом:
(1.3) | |||
в зависимости от выбора параметра продолжения выбирается одно из этих условий | |||
, | |||
где – задаваемое значение.
Решение поставленной задачи
Введем обозначение для (1.1) и для (1.2). Систему дифференциальных уравнений (1.1) можно представить в виде:
(1.4) |
а систему (1.2) в виде:
(1.5) |
Граничные условия (1.3) можно записать в виде:
(1.6) |
Задача сводится к решению систем (1.4), (1.5) с граничными условиями (1.6).
Для нахождения точек разветвления решений используется идея метода деидеализации [9]. В данной работе рассматривается два варианта введения неидеальностей:
а) приложение усилия ;
б) фиксированное смещение верхней пластины по оси ,
которые ниже будут изложены подробнее.
Алгоритм решения
Задача решается методом стрельбы. Он сводит краевую задачу к задаче Коши. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений решается численно методом Рунге – Кутты – Мерсона. Далее методом Ньютона решается система нелинейных уравнений. В качестве начального приближения задается нулевой вектор, так как он является решением для ненагруженного состояния амортизатора. При дальнейшем выборе начальных приближений используетя метод продолжения по параметру. Матрица производных в методе Ньютона считается численно.
Стоит отметить, что, в случае приближения к точке бифуркации, матрицы Якоби становятся плохо обусловленными. В самой точке бифуркации Якобиан принимает нулевое значение, поэтому прохождение по любому из параметров через точку бифуркации становится невозможным.