Глава 1. Математическая формулировка задачи

На примере мостичного амортизатора ставится задача выяснить особенности его состояния при симметричном статическом нагружении вертикальной нагрузкой.

Основные зависимости для арки-полоски

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Рис. 3. Арка-полоска

Рассмотрим задачу о цилиндрическом изгибе арки-полоски (рис. 3).

Отнесем ее к материальным координатам:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru .

Будем считать:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Рис. 4
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
 

Таким образом, рассмматривается одномерная, не зависящая от Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru , деформация амортизатора, поэтому можно считать его длину (по Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru единичной). Индексом Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru снабжаются величины недеформированной конфигурации.

Из рис. 4 видно, что ( Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru :

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru .

Здесь:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

– кратность удлинения дуги в плоскости Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru .

Используется модифицированная геометрическая гипотеза Кирхгофа [3]: материальное волокно, нормальное к материальной срединной поверхности до деформации, остается нормальным к ней и после деформации, удлиняясь по линейному закону.

Для описания упругих свойств эластомеров из несжимаемого материала используется модель трехконстантного потенциала [4]:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Этому материалу в главных осях деформации отвечает закон упругости:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru .

Здесь Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – энергия упругой деформации, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – начальный модуль сдвига, где E – модуль Юнга, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – главная кратность удлинения, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – напряжение, p – сила, обеспечивающая несжимаемость материала, а Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – безразмерные константы материала. Далее в работе будет рассматриваться модель двухконстантного материала, то есть Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru . Константы Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru будут равны Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru соответственно.

Уравнения равновесия для мостичного амортизатора принимают вид:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Для изотропно упругого материала определяющие соотношения имеют вид:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Рис. 5
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Где Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – усилие, прикладываемая по касательной к срединой линии в подвижной системе координат, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – усилие, прикладываемое по нормали к срединой линии в подвижной системе координат, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – изгибающий момент, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – проекции внешней нагрузки в подвижной системе координат.

Перепишем усилия (рис. 5) в проекции на Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru :

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Введя перемещения:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

и угол поворота:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru (1.1)
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  

составим системы уравнений, описывающие деформацию амортизатора:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru (1.2)
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – геометричекие соотношения
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru .  

Где Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – перемещение по осям Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru соответственно, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – угол поворота, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – изменение кривизны, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – углы между нормалью и осью Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru до и после деформации соответственно, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – константа материала, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – толщина боковой пластины, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – высота амортизатора в недеформированном состоянии, Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – координаты до деформации.

Так как амортизатор представляет собой две симметричные пластины из эластомеров, верхние индексы Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru будут обозначать левую и правую пластины соответственно. Для определенности Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Граничные условия для данной задачи будут выглядеть следующим образом:


Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru  
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru (1.3)
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru в зависимости от выбора параметра продолжения выбирается одно из этих условий
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru ,
       

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru
Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru

где Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru – задаваемое значение.

Решение поставленной задачи

Введем обозначение Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru для (1.1) и Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru для (1.2). Систему дифференциальных уравнений (1.1) можно представить в виде:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru (1.4)

а систему (1.2) в виде:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru (1.5)

Граничные условия (1.3) можно записать в виде:

Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru (1.6)

Задача сводится к решению систем (1.4), (1.5) с граничными условиями (1.6).

Для нахождения точек разветвления решений используется идея метода деидеализации [9]. В данной работе рассматривается два варианта введения неидеальностей:

а) приложение усилия Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru ;

б) фиксированное смещение верхней пластины по оси Глава 1. Математическая формулировка задачи - student2.ru ,

которые ниже будут изложены подробнее.

Алгоритм решения

Задача решается методом стрельбы. Он сводит краевую задачу к задаче Коши. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений решается численно методом Рунге – Кутты – Мерсона. Далее методом Ньютона решается система нелинейных уравнений. В качестве начального приближения задается нулевой вектор, так как он является решением для ненагруженного состояния амортизатора. При дальнейшем выборе начальных приближений используетя метод продолжения по параметру. Матрица производных в методе Ньютона считается численно.

Стоит отметить, что, в случае приближения к точке бифуркации, матрицы Якоби становятся плохо обусловленными. В самой точке бифуркации Якобиан принимает нулевое значение, поэтому прохождение по любому из параметров через точку бифуркации становится невозможным.



Наши рекомендации