Технология решения нелинейных уравнений средствами MathCad
В математическом пакете MathCad имеются как программные средства для реализации алгоритмов уточнения корней уравнений, так и встроенные функции для численного и аналитического вычисления корней уравнений.
Рассмотрим примеры , иллюстрирующие средства MathCad.
Пример 2.4-1.Отделить корни уравненияx3-cos(x)+1=0 графическим методом.
| Проведем анализ функции 1) Область допустимыхзначениий 2) Сократим интервал достаточно большая 3) Получим два отрезка локализации: Простой корень на отрезке [-0.6;-0.4] и кратный корень на отрезке [-0.2;0.2] |
Пример 2.4-2.Отделить корень уравненияf(x)=1–3x+cos(x)=0 аналитически.
| Первая и вторая производные на [0;1] непрерывны и знакопостоянны a=0 b=1 Уравнение 1-3x+cos(x)=0 имеет на отрезке [0;1] один корень |
Пример 2.4-3.Выполнить «ручным расчетом» три итерации нахождения корня уравнения f(x)= 1 – 3х + cos(x) = 0 методом половинного деления.
| >0следовательно <0следовательно <0следовательно |
Пример 2.4-4.Уточнить корень уравнения f(x)=1 – 3x + cos(x)=0 методом итерации на отрезке [0;1].
Приведем уравнение1 – 3х + cos(x) = 0к видуx = (cos(x)+1)/3и проведем исследование:
| для всех значений аргумента х на отрезке [0;1] |
Пример 2.4-5.Привести уравнение x2–3∙x+3.25–5∙cos(x)=0 к виду, удобному для итерации.
| Будем искать простой корень уравнения, находящийся на отрезке локализации [-0.4;0] Найдем корень с помощью встроенной функции root 1 способ.Приведем уравнение к виду x=ϕ(x) , где Проверим условие сходимости: График призводной Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка ϕ(x)=x-λf(x), где λ - итерационный параметр Выполним 3 итерации по расчетной формуле x=ϕ(x) 1-я итерация: 2-я итерация: 3-яитерация: Погрешность найденного значения корня: 2 способ. Приведем уравнение к виду x=x-λf(x), где итерирующая функция ϕ(x)=x- λf(x), а λ - итерационный параметр. λ выбирем из условия λ=2/(m+M), где m - минимальное, а М - максисальное значения f'(x) на отрезке [-0.4,0] 1-я итерация: 2-я итерация: 3-я итерация: Погрешность найденного значения корня: |
Пример 2.4-6.Выполнить «ручным расчетом» три итерации, решая уравнение f(x)=1 – 3x + cos(x)=0 методом Ньютона.
В нашем случае
ВMathcad имеется ряд встроенных средств для поиска корней нелинейных уравнений. Функция
root(f(var1, var2, ...),var1, [a, b])
имеет два необязательных аргумента a и b, которые определяют границы интервала, на котором следует искать корень. На концах интервала [a;b]функция f должна менять знак (f(a)f(b)<0). Задавать начальное приближение для корня не нужно. Функция rootиспользует алгоритм Риддера (в основу которого положен метод хорд) и Брента. Метод Брента соединяет быстроту метода Риддера и гарантированную сходимость метода деления отрезка пополам.
Пример 2.4-7. Определить корни уравнения , используя расширенный поиск.
Для оценки местоположения корней построим график этой функции
Пример 2.4-8.Отделить корень уравнения 1–3x+Co(x)=0, а затем с помощью встроенной функции root( ) найти его значение с точностью TOL = 0.001.
Значение переменная TOL принимает по умолчанию. Если требуется изменить точность вычислений, то переменную TOL следует переопределить, например, следующим образом TOL:=0.00001. В данном примере, поскольку параметры a и b не заданы, то функция root возвращает первый вычисленный корень.
Если уравнение имеет несколько корней, то для их нахождения можно использовать разложение функции f(x) на простые множители f(x)=(x-x1)(x-x2) …(x-xn), где x1, x2, …, xn - корни уравнения. Начальное приближение можно задать только для первого корня, а в качестве функции взять, например,
Если уравнение не имеет действительных корней, то есть на графике функция f(x) нигде не равна нулю, то для вывода комплексных корней надо ввести начальное значение приближения к корню в комплексной форме, где для вывода мнимой части использовать символы 1iи 1j.
Пример 2.4-9. Найти решения нелинейного уравнения , имеющего несколько корней, часть из которых мнимые.