Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множество дробей - это один класс, множество дробей - это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: - это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q₊. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - другой дробью , то а=b тогда и только тогда, когда mq=np.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем).

Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у - дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n -ая часть отрезка е укладывается в отрезке z m+р раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью . Поэтому полагают, что + = .

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению, + = (1).

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

( a, b Q₊) а + b = b + а;

( а, b, с Q₊) (а + b) + с = а (b + с).

Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями и . Тогда сумма а + b представляется дробью , а сумма о + b - дробью . Так как m,р, n- натуральные числа, то m + р = р + n и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е₁ и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е₁?

Так как X = · Е , то n·X = m·Е, а из того, что Е= ·Е₁ следует, что q·E=p·E₁. Умножим первое полученное равенство на q, а второе - на m. Тогда (nq) ·X = (mq) ·E и (mq) ·E = (mр) ·Е₁, откуда (nq) ·X = (mp) ·E₁. Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины Е выражается дробью

, а значит · = , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью ,то их произведением называется число ab, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению, · = (2).

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q₊.

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b <а, а> b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q₊ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q₊ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq<nр.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда mq < nр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q₊ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q₊.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a-b=с тогда и только тогда, когда а=b + с.

Разность а-b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а-b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где m<р:

- = (3)

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда а = be.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и : : = (4). Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.