Передаточные функции фильтров

В общем виде алгоритм синтеза ARC- фильтров сводится к следующему:

· формируются требования к его амплитудной частотной характеристике (АЧХ), т.е. устанавливаются граничные частоты полос пропускания и задерживания, максимальное и минимальное значения АЧХ в полосе пропускания, максимально допустимое значение АЧХ в полосе задерживания;

· по требованиям к АЧХ синтезируется передаточная функция фильтра в виде произведения функций не выше 2-го порядка;

· производится анализ модуля синтезированной комплексной функции передачи в частотной области с целью проверки удовлетворения требованиям к АЧХ;

· каждая из функций 1-го и 2-го порядка реализуется тем или иным активным звеном на основе, как правило, операционных усилителей;

· звенья подключаются каскадно, обеспечивая тем самым реализацию произведения передаточных функций 1 -го и 2-го порядка и формируя схему фильтра;

· осуществляется физическая реализация фильтра с последующим экспериментальным исследованием его АЧХ с целью проверки удовлетворения требованиям.

При этом все расчеты базируются, как правило, на расчете нормированного фильтра прототипа низких частот (НЧП), с последующим переходом к реальному фильтру того или иного типа.

В качестве аппроксимирующих функций нашли широкое применение полимиальные и дробно рациональные – эллиптические: Баттерворта, Чебышева;

Если известны координаты нулей и полюсов синтезируемого фильтра, то передаточную функцию можно записать так:

, (9.19)

где К₀ – нормирующий постоянный коэффициент; M – количество нулей; N – количество полюсов; P – комплексная частота.

; – нули и полюсы.

При этом нули всегда мнимые, а полюсы комплексно-сопряженные и/или действительные отрицательные. Если в формуле (9.19) раскрыть попарно скобки, группируя множители с комплексно-сопряженными нулями и полюсами, то получим:

, (9.20)

здесь n = 0 , если N – четное и N = 1, если N – нечетное.

Формула (9.20) записана для нормированного прототипа ФНЧ.

Отсюда следует, что с учетом каскадного представления ARC- фильтров, передаточная характеристика отдельного звена, в общем виде будет выглядеть так:

, (9.21)

здесь b₀ =1; b₁ = -2α₁ ; b₂ = ( ), а₀ =1: а₁ = .

При этом частота полюса звена фильтра;

- называется добротностью полюса;

ω_z – называется резонансной частотой нуля или частотой режекции.

Для звена ФНЧ первого порядка а₀ = b₀ = 0 ; b₂ = 1, тогда получим:

(9.22)

Реализация фильтров в виде каскадного соединения звеньев, не выше второго порядка, позволяет получить фильтры с низкой чувствительностью.

9.8 Преобразование частот

Как уже указывалось, расчет ARC – фильтров осуществляется на основе ФПНЧ и при его расчете используют нормированные частоты, а не реальные. Причем, переход к реальным частотам может быть осуществлен на последнем этапе, т.е. этапе реализации. Нормирование частоты и её трансформация позволяет свести характеристики ФНЧ, ФВЧ ППФ, ПЗФ к характеристикам эквивалентного ФПНЧ.

АЧХ ФПНЧ определена на нормированной оси частот так, что граничная частота ПП Ω_n = 1, а граничная частота полосы задерживания Ω_n>1. В качестве нормирующей частоты для ФНЧ и ФВЧ выбирается граничная частота полосы пропускания реального фильтра ω_n.

Для ППФ и ПЗФ – центральная частота полосы пропускания ω₀ = . Формулы для вычисления нормированных частот синтезируемого фильтра и его ФПНЧ приведены в таблице 9.6.

Таблица 9.6

Тип	НЧ прототип	Синтезируемый фильтр
ФНЧ	;	; ;
ФВЧ	, Здесь происходит трансформация частот В нормированные	; ; ;
ППФ	здесь происходит трансформация частот В нормированные	; ; ; ; ; ; ;   нормированные частоты ППФ связаны с нормированными частотами ФПНЧ

Для расчетов ФПНЧ требуется знание трех параметров:

a_п, a_з – затухание в полосе пропускания и запирания, и частоту заграждения Ω_З . При этом для ППФ и ПЗФ в качестве Ω_ЗФПНЧ выбирается большая из Ω_З1, Ω_З2.

Координаты нулей и полюсов ФПНЧ также не обходимо пересчитать в соответствующие нули и полюса синтезируемого фильтра (ФВЧ, ППФ, ПЗФ). Формулы пересчета представлены в таблице 9.7.

Таблица 9.7

Тип	Нули	Полюсы
ФВЧ	, где i = 1,2,… , k = 1,3,5,…, m -1 , i = m+1, m+2, ….., n	, где ; , где i = 1,2,… , k=0 (n - четное), к=1 (n- нечетное) k = 1,3,5,…, n -1 (n - четное) k = 1,2,4,6…, n -1 (n - нечетное)
ППФ	, где i = 1,2,… , k = 1,5,9,…, 2m -3,   , где i = 2m+1, 2m+2, ….., n+m   ω – частоты нулей ФПНЧ	; , где ; ; ; , где где i = 1,2,… , j=0 (n - четное), j=1 (n- нечетное) k = 1,5,9,…, 2n -3 (n - четное) k = 1,3,7,11…, 2n -3 (n - нечетное)
в ФПНЧ

Данные формулы получены на основе правил замены комплексной переменной p при переходе от ФПНЧ к другим видам фильтров Каждый полюс или нуль при переходе от ФПНЧ к ППФ или ПЗФ порождает два полюса или два нуля, так что порядок синтезируемого фильтра по сравнению с прототипом увеличивается в два раза. При пересчете оказывается что для ФВЧ и ПЗФ количество нулей равно количеству полюсов, для ППФ число нулей на n – m меньше числа полюсов. Для ФВЧ и ППФ появляются дополнительные нули p_ok = 0, количество которых равно n –m для ФПНЧ