Передаточные функции соединений элементов

С переменными параметрами

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

Соединения элементов с переменными параметрами:

а — параллельное; б — последовательное; в — с обратной связью

Параллельное соединение.

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

Последовательное соединение.

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru (IV.63)

Соединение с обратной связью.

Матрица двумерной нестационарной передаточной функции замкнутой системы определяется формулой

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

Можно найти другие формулы для матрицы двумерной неста­ционарной передаточной функции замкнутой системы, эквивалент­ные формуле

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

Связь нестационарных передаточных функций с дифференциальными уравнениями систем с переменными параметрами

Пусть система описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru (IV.80)

Импульсная переходная функция системы k(θ, τ) как функция θ является решением этого уравнения при воздействии g(θ) = δ(θ - τ):

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru (IV.81)

Умножим правую и левую части уравнения (IV.81) на функ­цию ψ(i, t, τ), которая принадлежит системе функций, ортонормированной на отрезке t - Т(t) ≤ τ ≤ t, и проинтегрируем обе части по τ на этом отрезке:

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

откуда, учитывая свойства дельта - функции, найдем:

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

В уравнении i и t — параметры и всегда ψ(i, t, θ) = 0 при θ = t – T(t) – ε.

Заметим, что нестационарная сопряженная передаточная функ­ция

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru (i, t, θ) является решением дифференциального уравнения системы при g(θ) = ψ(i, t, θ). Установим теперь связь двумерной нестационарной передаточ­ной функции с дифференциальным уравнением системы.

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

Структурная схема математической модели системы, построенная по дифференциальному уравнению

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

где P(t, t), A(t, t), B(t, t) — матрицы двумерных нестационар­ных передаточных функций соответственно дифференциатора и усилительных звеньев с импульсными переходными функциями ak(θ)δ(θ – τ), bk(θ)δ(θ – τ) определяемыми коэффициентами диф­ференциального уравнения.

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

При выводе формулы учиты­вается, что матрицы двумерных нестационарных передаточных функций интегратора и дифференциатора обратны друг другу: Передаточные функции соединений элементов - student2.ru , а матрицы двумерной нестационарной передаточной функции интегратора и дифференциа­тора порядка к определяются как степени матриц Р-1(t, t) и P(t, t).

Формулу можно представить также в форме, удобной при вычислениях:

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

Если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны, то формулы принимают вид

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru (IV.85)

или

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru

(IV.86)

Запись Передаточные функции соединений элементов - student2.ru в данном случае указывает, что для стационарной системы матрицы М и D-1 коммутативны.

Матрица двумерной передаточной функции {dne}дифференцирующего звена Р имеет вид

   
  d-4,-4 d-4,-3 d-4,-2 d-4,-1 d-4,0 d-4,1 d-4,2 d-4,3 d-4,n -n
   
  d-3,-4 2-j6p d-3,n -3
  d-2,4 2-j4p d-2,n -2
  d-1,4 2-j2p d-1,n -1
Передаточные функции соединений элементов - student2.ru d0,-n d0,n n=0
  d1,-4 2+j2p d1,n +1
  d2,-4 2+j4p d2,n +2
  d3,-4 2+j6p d3,n +3
 
    dn,-4 dn,-3 dn,-2 dn,-1 dn,0 dn,1 dn,2 dn,3 d-n,n n
 
    -n   -3 -2 -1 e=0 ... n    

где dn,n= Передаточные функции соединений элементов - student2.ru =2+j2pn.

Спектральные характеристики, определенные относительно системы функции (2.2), представлены таблицей

x(t) Передаточные функции соединений элементов - student2.ru i=0, ±1, ±2….
1(t) Передаточные функции соединений элементов - student2.ru i=0 i= ±1, ±2,…
t Передаточные функции соединений элементов - student2.ru i=0 i= ±1, ±2,…
t2 Передаточные функции соединений элементов - student2.ru i=0 i= ±1, ±2,…

Матрица {dne} для линейного стационарного звена имеет вид

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru .

Точность метода необходимо контролировать путем увеличения размерности матрицы Р.

******************************************

Пример.

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru .

А. Матрица вращения

Передаточные функции соединений элементов - student2.ru .

Наши рекомендации