Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, расстояние до которой от точки графика стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают 3 вида асимптот:

а) вертикальная асимптота. Ее уравнение x = a. График функции y = f(x), имеющий вертикальную асимптоту, может иметь вид, показанный на рис. 5.5.

Для нахождения вертикальной асимптоты графика функции y = f(x) достаточно найти точку a такую, что в этой точке хотя бы один односторонний предел бесконечен, т. е.

или/и .

Тогда прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

б) горизонтальная асимптота. Ее уравнение y = b. График функции y = f(x)изображен на рис. 5.6.

Рис. 5.6.Горизонтальная асимптота

Если

или/и ,

то прямая y = b является горизонтальной асимптотой (справа на ; слева на ) графика функции y = f(x). Если оба эти предела бесконечны или не существуют, то график функции y = f(x) горизонтальных асимптот не имеет. Если горизонтальных асимптот нет, то отыскивают наклонную асимптоту.

в) наклонная асимптота. Ее уравнение y = kx + b. График функции, имеющий наклонную асимптоту, изображен на рис. 5.7.

Рис. 5.7.Наклонная асимптота

Если существуют конечные пределы

и ,

то прямая y = k₁x + b₁ является наклонной асимптотой справа графика функции y = f(x).

Если существуют и конечные пределы

, ,

то прямая y = k₂x + b₂ является наклонной асимптотой слева.

Если хотя бы один из пределов при и при бесконечен или не существует, то график функции y = f(x) наклонных асимптот не имеет.

Заметим, что на рис. 3.7 прямая y = kx + b является одновременно наклонной асимптотой слева и справа (т. к. k = k₁ = k₂; b = b₁ = b₂).

Нетрудно видеть, что если k = 0, то наклонная асимптота превращается в горизонтальную, т. е. горизонтальная асимптота представляет собой частный случай наклонной асимптоты при k = 0.

3.8. Непрерывность функции в точке и на отрезке

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются три условия:

1. Существует f(x₀), т. е. значение функции в точке x₀.

2. Существует конечный предел .

3. .

Очевидно, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀, то ее график можно провести через эту точку, не отрывая карандаша от бумаги (отсюда и название).

Если в точке x₀ не выполняется хотя бы одно из трех указанных выше условий, то функция y = f(x) не является непрерывной (терпит разрыв) в точке x₀.

Невыполнение каждого из условий можно проиллюстрировать рис. 5.8.

Не выполняется:

Рис. 5.8. Невыполнение условий непрерывности функции

Можно доказать следующие свойства функций непрерывных в точке:

1.Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, а с — постоянная величина, то функции

cf(x); ; ; , где

также непрерывны в точке x₀ .

2.Если функция непрерывна в точке x₀ , а функция f(u) непрерывна в точке u₀ , то сложная функция

непрерывна в точке x₀ .

Таким образом, знак предела можно вносить под знак непрерывной функции, т. е.

.

3. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих области их определения.

Функция y = f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b] (интервале (a, b)), если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (интервала).

Если функция y = f(x) в точке x₀ не является непрерывной, то точка x₀ называется точкой разрыва функции y = f(x).

Принята следующая классификация точек разрыва:

1. Если в точке разрыва x₀ функции y = f(x) существует конечный предел , то x₀ называется точкой устранимого разрыва функции y =f(x) (рис. 3.8, условие 1 и условие 3).

2. Если в точке разрыва x₀ функции y = f(x) существуют конечные односторонние пределы и , то x₀ называется точкой разрыва первого рода (рис. 3.8, условие 2).

Точки устранимого разрыва также можно отнести к точкам разрыва 1-го рода, т. к. в этих точках существуют конечные односторонние пределы функции y = f(x).

3. Если в точке разрыва x₀ функции y = f(x) хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то x₀ называется точкой разрыва второго рода функции y = f(x).

Возвращаясь к вопросу нахождения вертикальных асимптот, можно сформулировать следующий признак существования вертикальной асимптоты:

если x₀ – точка разрыва 2-го рода функции y = f(x) и хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке бесконечен, то прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).