Равновесие деформируемого тела

Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Рис. 3
Теоретическая механика занимается исследованием систем дискретных материальных точек, механика же сплошной среды рассматривает равновесие и движение газов, жидкостей и твердых тел, масса которых считается распределенной непрерывно. Вместе с массой непрерывно распределены по объему тела и силы, обусловленные наличием массы, например, сила тяжести. Кроме таких пространственно-распределенных сил в сплошной среде действуют также поверхностно распределенные силы.

В недеформированном теле все его части находятся в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частей, равна нулю. При деформировании же тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первоначально. В нем возникают силы, стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформации внутренние силы называются внутренними напряжениями. Если тело не деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют. Внутренние напряжения обуславливаются силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Молекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. Их влияние простирается вокруг создающей их частицы лишь на расстояниях порядка межмолекулярных. Поэтому силы, обуславливающие внутренние напряжения, являются силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею точкам. Отсюда следует, что силы, действующие на какую-то часть тела со стороны окружающих ее частей, действуют только непосредственно через поверхность этой части.

Проведем мысленно через точку Равновесие деформируемого тела - student2.ru сплошной среды, например, упругого твердого тела, малую плоскую площадку величиной Равновесие деформируемого тела - student2.ru и восставим к одной из двух ее сторон нормальный единичный вектор Равновесие деформируемого тела - student2.ru (рис 3).

Часть тела, расположенную от площадки в направлении нормали Равновесие деформируемого тела - student2.ru назовем внешней, а часть, расположенную по другую сторону площадки – внутренней. На внутреннюю часть со стороны внешней через площадку Равновесие деформируемого тела - student2.ru действует сила Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Если эту силу Равновесие деформируемого тела - student2.ru разделить на площадь Равновесие деформируемого тела - student2.ru площадки, то получится среднее напряжение Равновесие деформируемого тела - student2.ru : Равновесие деформируемого тела - student2.ru (9)

Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
С
В
А
D
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
y
z
x
Рис.4
на площадке, проходящей через точку Равновесие деформируемого тела - student2.ru с нормалью Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Переходя к пределу при стягивании площадки к точке Равновесие деформируемого тела - student2.ru , получим истинное напряжение в точке Равновесие деформируемого тела - student2.ru на элементарной площадке с номалью Равновесие деформируемого тела - student2.ru Равновесие деформируемого тела - student2.ru (10)

Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Равновесие деформируемого тела - student2.ru
Меняя направление нормали Равновесие деформируемого тела - student2.ru , т.е. поворачивая площадку, получим различные значения вектора напряженности Равновесие деформируемого тела - student2.ru в одной и той же точке Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Таким образом, напряженное состояние в точке Равновесие деформируемого тела - student2.ru тела не может быть описано одним вектором. Но оказывается, что достаточно знать векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку Равновесие деформируемого тела - student2.ru , и тогда можно найти напряжение в точке Равновесие деформируемого тела - student2.ru на площадке любой ориентации, проходящей через точку Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Докажем это. Обозначим через Равновесие деформируемого тела - student2.ru векторы напряжения в точке Равновесие деформируемого тела - student2.ru на элементарных площадках, нормали к которым совпадают по направлению с осями координат Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Рассмотрим малый элементарный тетраэдр, три ребра которого параллельны осям координат (рис 4).

Пусть грань Равновесие деформируемого тела - student2.ru имеет площадь Равновесие деформируемого тела - student2.ru и внешнюю нормаль Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Тогда площади граней Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru и Равновесие деформируемого тела - student2.ru можно записать в виде:

Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru .

Внешние нормали к этим граням направлены по отрицательным направлениям координатных осей. Напряжение на площадке Равновесие деформируемого тела - student2.ru , соответствующее внешней нормали Равновесие деформируемого тела - student2.ru ,обозначим Равновесие деформируемого тела - student2.ru , а сила, действующая на этой площадке, будет равна Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Напряжение на площадке Равновесие деформируемого тела - student2.ru с нормалью, совпадающей по направлению с осью Равновесие деформируемого тела - student2.ru , обозначим Равновесие деформируемого тела - student2.ru , тогда напряжение на той же грани, но с нормалью, противоположно направленной, по третьему закону Ньютона будет равно Равновесие деформируемого тела - student2.ru , а сила Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Аналогично, сила на площадке Равновесие деформируемого тела - student2.ru c нормалью, противоположной оси Равновесие деформируемого тела - student2.ru , будет равна Равновесие деформируемого тела - student2.ru , а сила на площадке Равновесие деформируемого тела - student2.ru с нормалью, противоположной Равновесие деформируемого тела - student2.ru , будет равна Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Составим уравнение движения, пользуясь вторым законом Ньютона:

Равновесие деформируемого тела - student2.ru (11)

Здесь Равновесие деформируемого тела - student2.ru – высота тетраэдра, если за основание взять грань Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru – плотность массы, Равновесие деформируемого тела - student2.ru – объемная сила, приходящаяся на единицу массы (например, сила тяжести), Равновесие деформируемого тела - student2.ru – скорость движения тетраэдра, Равновесие деформируемого тела - student2.ru – ускорение; Равновесие деформируемого тела - student2.ru – объем тетраэдра. Разделим равенство (11) на Равновесие деформируемого тела - student2.ru и перейдем к пределу, стягивая тетраэдр в точку ( Равновесие деформируемого тела - student2.ru ). При этом учтем, что ускорение Равновесие деформируемого тела - student2.ru и объемная сила Равновесие деформируемого тела - student2.ru остаются ограниченными. В итоге получим равенство:

Равновесие деформируемого тела - student2.ru (12)

Так определяется вектор напряжения на площадке с произвольной ориентацией Равновесие деформируемого тела - student2.ru через напряжения Равновесие деформируемого тела - student2.ru на площадках, нормали к которым совпадают по направлению с осями координат. Компоненты вектора Равновесие деформируемого тела - student2.ru обозначим через Равновесие деформируемого тела - student2.ru . Аналогично для векторов Равновесие деформируемого тела - student2.ru и Равновесие деформируемого тела - student2.ru : Равновесие деформируемого тела - student2.ru , Равновесие деформируемого тела - student2.ru .

Расположим все эти компоненты в виде матрицы:

Равновесие деформируемого тела - student2.ru (13)

Таким образом, чтобы определить напряженное состояние в некоторой точке, нужно знать девять элементов матрицы (13). Элементы матрицы (13) имеют простой механический смысл. Так как вектор Равновесие деформируемого тела - student2.ru с компонентами Равновесие деформируемого тела - student2.ru представляет собой напряжение, которое действует на малую площадку, перпендикулярную оси Равновесие деформируемого тела - student2.ru , то величина Равновесие деформируемого тела - student2.ru – это составляющая напряжения Равновесие деформируемого тела - student2.ru , перпендикулярная этой площадке. Эта составляющая называется нормальным напряжением на площадке. Составляющие Равновесие деформируемого тела - student2.ru напряжения Равновесие деформируемого тела - student2.ru направлены по касательным к площадке и называются касательными напряжениями или напряжениями сдвига. Аналогично, Равновесие деформируемого тела - student2.ru представляют собой нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных осям Равновесие деформируемого тела - student2.ru и Равновесие деформируемого тела - student2.ru соответственно, а Равновесие деформируемого тела - student2.ru и Равновесие деформируемого тела - student2.ru – напряжения сдвига. В теории упругости допускается, что матрица (13) симметрична, т.е. Равновесие деформируемого тела - student2.ru . В силу этого для определения напряженного состояния нужно знать не девять компонент напряжения, а только шесть. Так же, как и в первой задаче, матрица (13) обозначает тензор 2-ого ранга, называемый тензором напряжений. Компоненты тензора напряжений Равновесие деформируемого тела - student2.ru зависят от системы координат и изменяются при изменении системы координат по определенному правилу, которое будет установлено позднее.

Таким образом, две задачи, совершенно разные по физическому содержанию, привели нас к одной и той же математической проблеме: необходимости изучения свойств и законов преобразования матриц вида (8) и (13), а также их обобщения. Аналогичная проблема возникает и в связи со многими другими задачами.

Теперь мы отвлекаемся от конкретного физического содержания и рассмотрим только математические аспекты. Прежде всего, заметим, что тензор 2-го ранга не тождественен квадратной матрице (3х3). Матрица – это лишь представление тензора в определенной системе координат, а сам тензор – инвариантный геометрический объект, существующий независимо от системы координат. Кроме того, матрицей вида (8) или (13) представляется лишь простейший тензор 2-го ранга. Тензоры более высокого ранга нельзя представить матрицей. Подробнее об этом будет сказано в следующих параграфах.

Наши рекомендации