Аботнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
1 Числовые множества и величины. Континуум как математическая сплошная среда. Элементарные объекты – точки. Множества целых, рациональных и иррациональных чисел. Величина как математическая модель свойства объекта. Инвариантные скалярные величины.
2 Векторные величины. Свободные, скользящие и связанные векторы. Базис векторного пространства. Инвариантность вектора. Проекции на оси координат и на произвольное направление. Формулы преобразования координат вектора при повороте декартовой системы координат. Векторное пространство и векторное поле.
3 Комплексные числа.
Комплексные числа как пары действительных чисел, точки на плоскости и как двумерное векторное пространство. Операции сложения, умножение на число и вычитания. Действительный смысл мнимой единицы. Представление комплексных чисел в тригонометрической и экспоненциальной форме. Операции с комплексными числами в перечисленных формах: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.
4 Физическое и геометрическое пространства.
Арифметизация физического пространства, декартова прямоугольная, прямолинейная система координат. Базисная тройка векторов. Радиус-вектор, его приращение и дифференциал. Точечно-векторное евклидово геометрическое пространство. Вектор перемещения материальной точки.
5 Сплошная среда в евклидовом точечно-векторном пространстве. Сколь угодно малые частицы сплошной среды. Векторы перемещений частиц сплошной среды. Траектории частиц. Поле скоростей. Поле ускорений. Пространственные и материальные точки, линии, поверхности и объёмы Пространственная, поверхностная и линейная плотность (средняя и в точке).
6 Криволинейные, поверхностные и объёмные интегралы от скалярных функций.
7 Дифференциальные операции первого порядка.
Символический векторный дифференциальный оператор Гамильтона Ñ.Градиент скалярного поля и производные по направлению
Расхождение векторного поля скоростей как скалярное поле (дивергенция).
Вихрь (ротор) векторного поля.
8 Матрица частных производных векторного поля. Матрица Якоби как градиент векторного поля. Дивергенция как инвариантная величина. Разложение матрицы Якоби на симметричную и антисимметричную слагаемые. Угловая скорость вращения твёрдого тела.
9 Тензор деформаций. Механический смысл частных производных в матрице Якоби. Составляющие тензора деформаций и их механический смысл. Выделение всесторонней деформации расширения (сжатия). Девиатор деформаций. Тензор скоростей деформации.
10 Тензор напряжений. Векторы поверхностных внутренних сил на сколь угодно малой площадке среды. Векторы напряжений на координатных площадках и на произвольной площадке с заданной нормалью. Тензор напряжений как инвариантный объект.
11 Уравнение сохранения объёма среды (условие несжимаемости).
12 Закон сохранения массы (количества вещества) сплошной среды.
13 Уравнения сохранения количеств для многокомпонентных смесей.
14 Уравнения движения сплошной среды. Второй закон Ньютона для сплошной среды.Связь между импульсом силы и приращением количества движения. Закон сохранения количества движения для сплошной среды.
15 Оператор Лаплпса D=Ñ2. Уравнение теплопроводности.
16 Криволинейные координаты.Полярные, цилиндрические и сферические системы координат. Представление дифференциальных операторов в криволинейных координатах.
17 Криволинейные, поверхностные и объёмные интегралы от векторных функций.
18 Система декартовых тензоров. Тензоры 2-го ранга как тройки векторов. Преобразование векторных проекций тензора на оси координат при повороте декартовой системы. Тензоры третьего и четвёртого рангов.
19 Тензоры коэффициентов упругости и линейной вязкости.
20 Закон среды – уравнения связи между напряжениями и деформациями.
21 Линейные законы для упругих и вязких анизотропных сред.
22 Постановки краевых задач математической физики.
Литература
аботнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела.