Лабораторная работа №2. Министерство образования и науки РФ

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный педагогический университет

Им. И.Н. Ульянова»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Методические разработки для студентов

Физико-математического факультета

Ульяновск, 2010
Лабораторная работа №1

Элементарная теория погрешностей

Краткая теория

Пусть x - точное значение числа, а – его приближенное значение. Тогда разность х-а называют погрешностью числа а. Эта погрешность может быть положительной (если а - приближение по недостатку) и отрицательной (если а – приближение по избытку). Удобнее бывает вычислить абсолютную величину этой разности:

Δ=|х-а|.

Число Δ называют абсолютной погрешностью числа а. Если точное значение числа неизвестно, то вычислить абсолютную погрешность его приближения невозможно. Тогда величину абсолютной погрешности оценивают сверху:

|х-а| ≤Δ_а.

Наименьшее из чисел Δ_а, которое удается получить, называется предельной абсолютной погрешностью числа а.

Относительной погрешностью числа а называют отношение абсолютной погрешности к точному значению числа (или, если точное значение не известно, к приближенному значению):

или .

Предельной абсолютной погрешностью числа а называют отношение его предельной абсолютной погрешности к точному (или приближенному) значению числа:

или .

Цифра приближенного числа называется верной в широком (узком) смысле, если предельная абсолютная погрешность числа не превосходит единицы (половины единицы) разряда, в котором находится эта цифра.

Значащими называются все верные цифры приближенного числа, кроме нулей, стоящих слева от первой ненулевой цифры.

Связь между количеством верных цифр приближенного числа и его предельной относительной погрешностью отражается формулами:

- в широком смысле, - в узком смысле,

где - старшая значащая цифра числа , n –количество значащих цифр.

Решение одного варианта

1.Определить, какое равенство точнее:

.

Находим значение данных выражений с большим числом десятичных знаков:

Затем вычислим предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

Предельные относительные погрешности составляют:

Так как , то равенство является более точным.

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки

а) в узком смысле; б) в широком смысле.

Определить абсолютную погрешность результата.

а) 72,353( 0,026); б) 2,3544; =0,2%

а) Пусть а=72,353( 0,026). По определению погрешность

=0,026<5.

=0,026<0,5.

=0,026<0,05. Но =0,026>0,005.

Это означает, что в числе 72,353 верными в узком смысле являются цифры 7,2,3.

Полученная погрешность больше 0,05. Значит, нужно уменьшить количество цифр в приближенном числе до двух:

Так как то обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.

б) Пусть a= 2,3544; тогда .

По определению погрешности

α_а=0,00471<1.

α_а=0,00471<0,1.

α_а=0,00471<0,01. Но α_а=0,00471>0,001.

Это означает, что верными в широком смысле являются три цифры (2, 3, 5). По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятичные доли.

а₁ ≈2,35; α_а=0,0044+0,00471=0,00911<0,01

Значит, и в округленном числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле.

3.Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры

а) в узком смысле; б) в широком смысле.

а) Так как все четыре цифры числа а=0,4357 верны в узком смысле, то абсолютная погрешность α_а=0.00005, а относительная погрешность:

, где α_m=4, n=4 0,000125=0,0125%

б) Так как все пять цифр числа а=12,384 верны в широком смысле, то α_а=0,001;

, где α_m=1, n=5 0,0001=0,01%

Задания

1)Определить, какое равенство точнее.

2) Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

3)Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры а) в узком смысле; б) в широком смысле.

Вариант 1 1) 2) a)22,553(±0,016); б)2,8546; δ=0,3% 3) а)0,2387; б) 42,884   Вариант 3 1) 2) a)0,5748(±0,0034); б)34,834; δ=0,1% 3) а)11,445; б) 2,043   Вариант 5 1)6/7=0,857; =2,19 2) a)5,435(±0,0028) б)10,8441 δ=0,5% 3) а)8,345; б) 0,288 Вариант 7 1)2/21=0,095; =4,69 2) a)2,4543(±0,0032) б)24,5643; δ=0,1% 3) а)0,374; б) 4,348   Вариант 9 1)6/11=0,545; =9,11 2) a)3,7834(±0,0041) б)21,68563; δ=0,3% 3) а)41,72; б) 0,678 Вариант 11 1)21/29=0,723; =6,63 2) a)13,6253(±0,0021) б)0,3567; δ=0,042% 3) а)18,357; б) 2,16 Вариант 13 1)13/17=0,764; =5,56 2) a)3,6878(±0,0013) б)15,873; δ=0,42% 3) а)14,862; б) 8,7   Вариант 15 1)6/11=0,545; =9,11 2) a)3,7834(±0,0041) б)21,68563; δ=0,3% 3) а)41,72; б) 0,678   Вариант 17 1)49/13=3,77; =3,74 2) a)5,6483(±0,0017) б)83,736; δ=0,085% 3) а)5,3462; б) 0,00858   Вариант 19 1)19/12=1,58; =3,46 2) a)4,88445(±0,00052) б) 0,096835; δ=0,32% 3) а)12,688; б) 4,636   Вариант 21 1)18/7=2,57; =4,69 2) a)0,39642(±0,00022) б)46,453; δ=0,15% 3) а)15,644; б) 6,125   Вариант 23 1) 16/7=2,28; =3,32 2) a)0,75244(±0,00013) б)24,3872; δ=0,34% 3) а)16,383; б) 5,734   Вариант 25 1)12/7=1,71; =6,86 2) a)0,38725(±0,00112) б)72,354; δ=0,24% 3) а) 18,275; б) 0,00644   Вариант 27 1)23/9=2,56; =9,33 2) a)4,57633(±0,00042) б)23,7564; δ=0,44% 3) а) 3,75; б) 6,8343

Вариант 2 1)7/15=0,467; =5,48 2) a)6,4257(±0,0024) б)17,2834; δ=0,3% 3) а)3,751; б) 0,537   Вариант 4 1)15/7=2,14; =3,16 2) a)2,3485(±0,0042) б)0,34484; δ=0,4% 3) а)2,3445; б) 0,745   Вариант 6 1)12/11=1,091; =2,61 2) a)0,12356(±0,00036) б)8,24163; δ=0,2% 3) а) 12,45; б) 3,4453   Вариант 8 1)23/15=1,53; =3,13 2) a)8,3445(±0,0022) б)23,574; δ=0,2% 3) а)20,43; б) 0,576   Вариант 10 1)17/19=0,889; =7,21 2) a)13,537(±0,0026) б)7,521; δ=0,12% 3) а)5,634; б) 0,0748   Вариант 12 1)50/19=2,63; =5,19 2) a)1,784(±0,0063) б)0,85637; δ=0,21% 3) а)0,5746; б) 236,58 Вариант 14 1)7/22=0,318; =3,60 2) a)27,1548(±0,0016) б)0,3945; δ=0,16% 3) а)0,3648; б)21,7   Вариант 16 1)5/3=1,667; =6,16 2) a)0,98351(±0,00042) б)3,7542; δ=0,32% 3) а)62,74; б) 0,389   Вариант 18 1)3/7=1,857; =2,64 2) a)32,7486(±0,0012) б)2,8867; δ=0,43% 3) а)0,0384; б) 63,745   Вариант 20 1)51/11=4,64; =5,91 2) a)38,4258(±0,0014) б)0,66385; δ=0,34% 3) а)6,743; б) 0,543   Вариант 22 1)17/9=2,11; =4,12 2) a)0,66385(±0,00042) б)5,8425; δ=0,23% 3) а)0,3825; б) 24,6   Вариант 24 1)21/13=1,54; =7,94 2) a)2,3684(±0,0017) б)45,7832; δ=0,18% 3) а)0,573; б) 3,6761   Вариант 26 1)6/7=0,857; =6,40 2) a)0,36127(±0,00034) б)46,7843; δ=0,32% 3) а) 3,425; б) 7,38   Вариант 28 1)27/31=0,872; =6,48 2) a)15,8372(±0,0026) б)0,088748; δ=0,56% 3) а) 3,643; б) 72,385

Лабораторная работа №2