Лекция 26. Интегрирование дробно-рациональных функций

Выделение правильной рациональной дроби

Неправильную дробь всегда можно свести к правильной, разделив числитель на знаменатель «столбиком» и выделив из дроби целую часть, т.е. многочлен:

Поэтому .

Интеграл вычисляется элементарно. Рассмотрим интегрирование правильных рациональных дробей.

Правильные дроби следующих четырех типов называются простейшими дробями: I. ; II. III. IV.

При этом предполагается, что А, В, p,q- действительные числа, а квадратный трехчлен в дробях III и IV типов не имеет действительных корней (т. е. ).

Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотри интегралы от простейших дробей:

I. II.

III. Для вычисления интеграла от рациональной дроби третьего типа поступают следующим образом: выделяют полный квадрат в знаменателе , затем делают подстановку .

IV. Для вычисления интеграла от рациональной дроби четвертого типа, сначала, как и для дроби III типа, в числителе дроби выделяется полный квадрат, и делается подстановка

, после чего данный интеграл сводится к виду:

. Первый интеграл правой части легко сводится к «табличному», а второй – находится с помощью рекуррентной формулы:

, где

Метод неопределенных коэффициентов

Для представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших следует её знаменатель Q(x) разложить на множители (линейные и квадратичные с отрицательными дискриминантами) и воспользоваться следующими правилами:

1. Каждому линейному множителю (х-а) ставить в представлении f(x) слагаемое ;

2. Каждому множителю вида (x-a)^k, k=2,3,… ставить в представлении f(x) k слагаемых ;

3. Каждому множителю вида ставить в представлении f(x) слагаемое .

Числа А, В, А₁, А₂,…, А_k-1, A_k являются неопределёнными коэффициентами. Для нахождения неопределённых коэффициентов все простейшие дроби приводят к общему знаменателю Q(x) и приравнивают числители обеих частей равенства. Затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х. Это приводит к системе уравнений, из которой и находят значения интересующих нас коэффициентов.

Лекция 27. Понятие определенного интеграла

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия.

1. С помощью точек разобьем отрезок на n частичных отрезков .

2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т. е. величину .

3. Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка .

4. Составим сумму всех таких произведений: . Данная сумма называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка.

5. Найдем предел интегральной суммы, когда .

Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом, .

Числа называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок - отрезком интегрирования.

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью ОХ, сбоку – прямыми , называется криволинейной трапецией. Найдем ее площадь.

На каждом частичном отрезке построим прямоугольник, одна из сторон которого равна , а другая - . Тогда площадь каждого такого прямоугольника равна , а площадь полученной при разбиении ступенчатой фигуры - и приближенно равна площади соответствующей криволинейной трапеции.

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел, равный . То есть, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Теорема Коши:если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует. (без доказательства)

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, вытекающие непосредственно из его определения:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: = .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .

3. Для любого действительного числа с верно равенство .

Основные свойства определенного интеграла.

1. .

2. 3.

4. Если на отрезке функции и интегрируемы и , то .

следствие 1:если и - наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке , то .

следствие 2:если на отрезке функции и интегрируемы, и , то .

«Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что . Число называется средним значением функции на отрезке .