Множества на комплексной плоскости

уравнение окружности в т z₀ – центр.

Опр. ε-окрестностью т. Z₀ называется множество т. Z, удовлетворяющих неравенству:

Т.е. это открытый круг с центром в т. Z и радиусом ε.

Пусть определено некоторое множество Е.

Точка Z называется внутренней точкой множества Е, если ∃ ε-окрестности этой точки целиком лежащая в Е.

Множество Е у которого все точки внутренние, называется открытым.

Множество Е называется связным, если 2 любые его точки можно соединить непрерывной кривой лежащей во множестве.

Связное открытое множество называется областью

Пусть дано множество Е.

Множество всех граничных точек множества, называется его границей.

Область вместе с присоединенной границей называется замкнутой областью.

Область называется односвязной если ее граница состоит из 1 непрерывно замкнутой кривой.

Область называется n – связной, если ее граница состоит из n. непрерывных, непересекающихся кривых.

9. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Производная. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.
Если каждому комплексному числу z из некот. Области D zэD поставить в соответиствии 1 или неск. Комплексных чисел w по какому то закону z → w(f над стрелкой), то говорят что задана ф-я комплексного переменного. При этом D наз-ся областью определения ф-ии, w- значением ф-ии.

Если каждому числу z w=f(z) поставлено в соотв-ии единств-е число w, то область наз-ся однозначной, в противоположном случае-многозначной. Если однозначная ф-я такова, что 2-ум разл. Значениям z соотв-ют различные значения w, то такая ф-я наз-ся однолистной.

Непрерывность ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z₀ = x₀ + iy₀. Функция называется непрерывной в точке z₀, если:
1. существует ;
2.

Предел ФКП. Ф-я f(z) имеет предел при z→z0 =x₀ + iy₀ , если сущ-ют пределы

Lim u(x,y)=u0(при x→x0, y→y0)

Lim v(x,y)=v0(при x→x0, y→y0)

Если ф-я двух перем. u(x,y) имеет предел в т.(x0,y0), то этот предел не зависит от направления.

Дифференцируемость функции комплексной переменной

.Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки z = x + iy ∈ C. Производной функции w = f(z) в точке z называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

Однозначная функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Однозначная функция называется аналитической в области D,если она аналитична в каждой точке этой области

Необходимость условия дифференцируемости:

Пусть функция f(z) диф. В точке z₀ , т.е. существует ,

Достаточность условия дифференцируемости:

Условия Коши-Риммана выполнено

10 . Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Представление основных элементарных функций при помощи рядов. Показательная и логарифмическая функции. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции.
a₁+a₂+…+a_n+.. Числовой ряд может быть составлен из комплексных членов z₁+z₂+…+z_n+...;S_n= _k; _n=S=A+iB. Если каждый член ряда может быть представлен в виде z_n=x_n+iy_n, т. е. x₁+iy₁=z₁..;z₁+z₂+…+z_n+..(1) наш ряд может быть разложен в 2 ряда x₁+x₂+…+x_n+...+i(y₁+y₂+…+y_n+..). Теор. Ряд с комплексными членами (1) сх-ся тогда и только тогда, когда сх-ся ряды, составленные из действительных и мнимых частей членов исходного ряда _n; _n. Пусть дан ряд z₁+z₂+…+z_n+… (1). Если ряд, составленный из |z₁|+|z₂|+…+|z_n|+...(2) сх-ся, то исходный ряд также сх-ся. При этом ряд (1) называется абсолютно сх-ся. Док-во: |z_n|= ; |z_n|= ≥|x_n|; |z_n|≥|y_n| . Ряд из комплексных членов сх-ся, но ряд, составленный из их модулей расх-ся (возможна и такая ситуация), в этом случае исходный ряд –условно сх-ся. Т. к. ряд, составленный из модулей является рядом с действительными членами, то для абсолютной сх-ти ряда (1) применимы известные признаки сх-ти: 1) q= ; q<1сх-ся абсол. q>1расх-ся. 2) q= q<1 q>1. C₀+C₁(z-z₀)+…+C_n(z-z₀)ⁿ+…(3)-степенной ряд. Если (3) сх-ся в т. z₁, то он абсолютно сх-ся во всех точках z, которые удовлетворяют неравенству |z-z₀|<|z₁-z₀|. Если (3) расх-ся в т. z₂, то он расх-ся во всех точках z, для которых выполняется неравенство |z-z₀|>|z₂-z₀|. z²=z*z; z²*z=z³; e^z=e^x+iy; e^iy=cosy+isiny; e^z=e^x(cosy+isiny); e^z=1+z+ +…= . Используя ряды Маклорена для элементарной ф-ии мы можем определить соответствующую ф-ию для комплексного переменного. ---.Опр. Число w называется логарифмом комплексного числа z если z=e^w при этом об-ют w=Lnz. Пусть число z=|z|(cosφ+isinφ)=|z|e^iφ ; w=|w|(cosψ+isinψ)=|w|e^iψ=u+iv; z=|z|e^iφ=e^u+iv |z|(cosφ+isinφ)=eⁿ(cosu+isinv); |z|=e^u: v=φ+2πk; u=ln|z|; Lnz=ln|z|+i(argz+2πk). zⁿ=e^nlnz Для 2-х комплексных чисел z,α общей степенной ф-ей z^α=e^αlnz.arccosz=iLn(z+ ); arshz=Ln(z+ ); arthz= Ln ; arcthz= Ln ; e^z+2πi=e^z. Любой вертикальный отрезок с абц.λ высотой 2π ф-ии e^z отображается в окружность с центром в начале координат с радиусом e^λ. Полубесконечная горизонтальная полоса (x≥0) шириной 2π ф-ии e^z отображается во внешность круга радиусом 1

11 .Интеграл от функции комплексного переменного по дуге. Сведение к определенному интегралу.
(граф.с дугой АВ) Пусть в области G комплексной плоскости лежит дуга и пусть в этой области определена ф-ия комплексного переменного f(z), разобьем точками z₀=A, z₁,z₂,…,z_n=B на n частей. Пусть z_k=x_k+iy_k на каждой из получившихся маленьких дуг произвольным образом выберем произвольную точку Ś_k. Вычислим значение ф-ии в этой т. f(Ś_k)=u_k+iv_k, также Δz_k=z_k-z_k-1=x_k+iy_k-x_k-1-iy_k-1=(x_k-x_k-1)+i(y_k-y_k-1)=Δx_k+iΔy_k. Найдем произведение и составим сумму f(Ś_k)=Δz_k;S_n= _k (1). Сумма (1) – интеграл. сумма для ф-ии f(Ś_k) по дуге , она очевидно зависит от числа n, способа разбиения дуги на части и способа выбора точек Ś_k внутри этих частей n . В том случае, если λ=max|Δz_k| ; k=1,…n.найдем _k (2). Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги и от способа выбора точек Ś_k, то он называется интегралом от ф-ии комплексного переменного f(z) вдоль дуги и обозначается ; = _k . Теор. Если кривая l определенная (кусочно-непрерывная, кусочно-гладкая), а f(z) непрерывная, то интеграл (3) существует и равен , где f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (4). Замечание: т. к. интеграл от ф-ии комплексного переменного по дуге равен сумме криволинейных интегралов 2го рода, то св-ва этого интеграла должны совпадать со св-ми криволинейного интеграла 2го род:1) = - 2) если дугу разбить на части точкой С то интеграл по = сумме интегралов: = + 3)Св-во линейности: f(z)=k₁f₁(z)+k₂f₂(z) k₁f₁(z)+k₂f₂(z)]dz=k_{1 1}(z)dz+k_{2 2}(z)dz

12. Теорема Коши для односвязной области. Первообразная. Неопределенный интеграл. Теорема Коши для многосвязной области.
Если D - односвязная ограниченная область, w = f( z) - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f(z) по L равен нулю: .
Доказательство:эта теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим вследствие условий Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L

Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция w = f(z), и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение.

Первообразная:

Если функция f(z) аналитична в некоторой области D

И если аналитическая функция F(z) в этой области удовлетворяет рав-ву то F(z) называется первообразной для функции f(z) ,

Очевидно для любого C , F(z)+Cтак же будет первообразной . если F1(z) и F2(z) ­– первообразные для функции f(z), то F1(z)-F2(z)=C=const

Неопр. интеграл :

Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками z₀ = A, z₁, z₂, …, z_n = B на n частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку t_k, найдём f(t_k) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при n → ∞, max|Δ z _k| → 0 (k = 1, 2, ..., n), если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек t_k, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается .
Теорема. Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой.
Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл: z _k = x _k + iy _k, f( z) = u(x, y) + iv(x, y), t _k = ξ _k + iζ _k, Δz_k = z_k − z_{k -1} = (x_k + iy_k) − (x_{k -1} + iy_{k -1}) = (x_k − x_{k -1}) + i(y_k − y_{k -1}) = Δx _k + iΔy _k, тогда f(t _k)·Δz _k = (u(ξ_k, ζ_k) + iv(ξ_k, ζ_k))(Δx_k + i Δy_k) = (u(ξ_k, ζ _kk)·Δx _k − v(ξ_k, ζ_k)·Δy _k) + i (u(ξ_k, ζ_k)·Δy _k + v(ξ_k, ζ_k)·Δx _k), и сумма разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно, и . Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при max|Δz_k| → 0 (k = 1, 2, 3, ..., n) - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .

Теорема Коши для многосвязной области:

Если функция w = f(z) аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами L₀ (внешняя граница), L₁, L₂, …, L_k, то интеграл от f(z), взятый по полной границе области , проходимой так,что область остаётся с одной стороны, равен нулю.Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура L₀ и внутренних контуров L₁ и L₂. Соединим контур L₀разрезом FM с контуром L₁, разрезом BG - с контуром L₂. Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши: . Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.

13. Интегральная формула Коши. Формула Коши для старших производных. Теорема Морера. Ряд Тейлора.
Пусть функция f(z) аналитична в многосвязной области D. Тогда интеграл по любому составному контуру Г лежащему в области D равной 0

Следствие

Теорема Морера

Если ф-ия f(z) непрерывна в односвязной области D и интеграл от этой ф-ии по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в этой области равной 0, то ф-ия f(z) аналитична в этой области D

Ряд Тейлора

Пусть ф-ия f(z) аналитична в некоторой области D и пусть в этой области задана l ограничивающая некоторую область w.

Тогда ряд Называется рядом Тейлора ф-ии f в точке а.

14. Ряд Лорана. Свойства ряда Лорана. Кольцо сходимости.
Теор. Пусть ф-ия f(z) аналитическая в кольце 0≤r<|z-z₀|<R< , тогда всюду в этом кольце она раскладывается в ряд f(z)= (3) при этом C_k= (4), здесь Г – простой замкнутый контур, лежащий внутри кольца. Опр. Ряд (3) называется рядом Лорана для ф-ии f(z). Св-ва: 1. -называется рядом, входящим в правую часть ф-лы (3) – правильная часть ряда Лорана. Он сх-ся всюду внутри внешней окружности кольца аналитичности. 2. - входящий в правую часть формулы (3) – главная часть ряда Лорана. Он сх-ся всюду, вне внутренней окружности кольца аналитичности. 3. Ряд Лорана сх-ся во всех точках кольца аналитичности, которое называется при этом кольцом сх-ти. 4. Всюду в кольце сх-ти ряд Лорана можно почленно интегрировать, а также дифференцировать сколько угодно раз. 5. Разложение ф-ии в ряд Лорана в каждом кольце единственно, т. е. если существует ряд f(z)= , то контуры C_k опред-ся формулой (4)

.

15. Изолированные особые точки. Разложение функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки.
Опр. т. z0 называется особой точкой т. функции f(z), если в этой точке аналитическая функция

теряет свою аналитичность.

Особая точка z0 называется изолированной особой точкой , если функция f(z) аналитична всюду в кольце 0 , а в т. z0 теряет свою аналитичность .

Z0=0 0

Zk=

Опр. Изолированая особая точка z0 называется устранимой особой точкой функции f(z) аналитической в кольце 0 , если

Опр. Изолированая особая точка называется полюсом функции f(z), аналитической в кольце

Опр. Изолированая особая точка z0 называется сущетсвенной особой точкой функции f(z),аналитической в кольце 0 .

Устранимая особая точка и точка и разложения функции в ряд Лорана в окрестностях устранимой особой точки.

Теорема. Изолированая особая точка z0 является устранимой особой точки функции f(z) тогда и только тогда , когда разложения функции f(z) в окрестности этой точки не содержит главной части т.е.,ряд Лорана состоит из правильной части.

Дост-сть

Пусть так и есть

Тогда

Необх-сть

Пусть т.z0 является устранимой особой точкой.

f(z) , в некотрой окрестности z0

16. Вычет функции. Теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет функции в бесконечно удаленной точке.
Теорема: если т. Z₀ – полюс 1-ого порядка ф-ии f(z), т.е. фун-я представится в виде

F(z) = при этом 0 , =0 , 0 , тогда вычет функции res _Z0 f(z)=

res _Z0 f(z)= ₀)= ₀) = = =

= =

Вычет в бесконечно удаленной особой точке.

Z= f ( =f

f(z) =a₀ + a₁z + a₂z + …

f ( =a₀ + a₁ +a₂ + …

res _Z0 f(z) =

f(z) = _k Z^k

res _Z0 f(z)= _k ^k dz = ( -2 _-1) = - C_–1

Вычет функции в бесконечно удаленной точке равен коэффициенту С_-1 со знаком – разложения функции в ряд Лорана по степеням z

17. Применение вычетов к вычислению определенных и неопределенных интегралов.
Вычисление несобственных интегралов при помощи вычетов.

Пусть требуется найти

Теорема. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением конечного числа особых точек z₁, z₂, … z_n лежащих в верхней полуплоскости.

|z|≥R

|f(z)|= , где m≥z

R – такое, что все особые m попадают внутрь окружности радиуса R.

Тогда

18. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема алгебры.
Лог. Выч.Опр. Лог-ой производной ф-ии называется производная логарифма от этой ф-ии. Опр. Лог-им вычетом ф-ии f(z)называется вычет от лог-ой производной этой ф-ии: . Из опр. следует, что лог-ий вычет имеет место не только в особых точках ф-ии, но и в нулях. Теор. В полюсах и нулях ф-ии f(z) лог-ая производная имеет простые полюсы. Лог-ий вычет в нуле ф-ии равен порядку этого нуля. Лог-ий вычет в полюсе ф-ии равен порядку полюса, взятому со знаком «-». Док-во: f(z) имеет в т. z₀ нулю порядка n. f(z)=a_n(z-z₀)ⁿ+a_n+1(z-z₀)ⁿ⁺¹+…; f’(z)= a_nn(z-z₀)^n-1+a_n+1(n+1)(z-z₀)ⁿ+…; f’(z)/f(z)=…=χ(z)/(z-z₀); χ(z)=φ(z)/ψ(z); φ(z)=a_nn+a_n+1(n+1)(z-z₀)+…; ψ(z)=a_n+a_n+1(z-z₀)+…; φ(z₀)=a_nn; ψ(z₀)=a_n; χ(z)-также будет аналитической, причем χ(z₀)≠0; χ(z)=n+b₁(z-z₀)+…; b₁+…;Пустьz₀ – полюс ф-ии f(z)порядка Р. f(z)=1/g(z), где g(z) имеет в т. z₀ нуль порядка Р. Тогда (lnf(z))’=-(lng(z))’ .

Прин. арг.Теор. Пусть ф-ия f(z) аналитическая в области D всюду за исключением конечного числа полюсов z₁,z₂,…,z_k и p₁,p₂,…,p_kи пусть ф-ия f(z) непрерывна на границе области Г, нигде на этой границе не обращается в нулю, а внутри обл. Dимеет лишь конечное число нулей a₁,a₂,…,a_m порядков n₁,n₂,…,n_m. Тогда справедливо следующее выражение: _Гargf(z)=N-P (2). Здесь N= n₁+n₂+…+n_m - общее число нулей с учетом их кратности; P= p₁+p₂+…+p_k - общее число полюсов с учетом их порядка, Δ_Гargf(z) - приращение аргумента ф-ии при обходе вдоль контура Г. Δ_Гargf(z)= _Гargf(z); _Zk =n₁+n₂+…+n_m-p₁-p₂-…-p_k=N-P.Следствие1: если ф-ия аналитическая внутри контура γ, то _Гargf(z)=N. Следствие2: число оборотов ф-ии при

обходе контура является целым число. Руше. Теор. Пусть ф-ии f(z)иg(z) аналитические внутри контура γ, а на самом контуре удовлет. неравенству|f(z)|>|g(z)|, тогда ф-ии f(z)и f(z)+g(z) имеет внутри контура одинаковое число нулей. |f(z)|>|g(z)|≥0; |f(z)|>0; |f(z)+g(z)|≥|f(z)-g(z)|>0; f(z)и f(z)+g(z)не обращается вна контуре в нуль. Δ_Гarg(f(z)+g(z))=Δ_Гargf(z)(1+ )= Δ_Г(argf(z)+arg(1+ ))= Δ_Гargf(z)+ Δ_Гarg(1+ )= Δ_Гargf(z)=2πiN. Осн. Теор. Алг. Ур-е a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0 (3) имеет в комплексной плоскости ровно n корней. Док-во: Рассмотрим f(z)=a₀zⁿ; g(z)=a₁z^n-1+…+a_n. Возьмем окружность радиусаR достаточно большого, такого чтобы многочлен g(z) не имел вне этой окружности корней и чтобы выполнялось неравенство |f(z)|>|g(z)|. Очевидно это можно сделать, т. к. степенная ф-ия zⁿ растет быстрее, чем любой многочлен меньшей степени. Тогда по Теор. Руше ф-ия f(z)и f(z)+g(z) имеют одинаковое число нулей внутри этой окружности.

19. Преобразование Лапласа и его свойства. Оригинал и изображение. Дифференцирование и интегрирование оригинала и изображения.
Для произвольного комплексного числа S и произвольного оригинала f(t) преобразование называется интегральным преобразованием Лапласа.

f₁(t) .=^. F₁(s) ; f₂(t) .=^. F₂(s)

Cв-ва: 1) c*f₁(t) .=^. c*F₁(s)

2) f₁(t) + f₂(t) .=^. F₁(s) + F₂(s)

Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1. при t < 0

2. при t > 0, M > 0,

3. На любом конечном отрезке [ab ] , положительный полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

a) ограничена,

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Дифференцирование оригинала:

Дифференцирование изображения:

Интегрирование оригинала:

Интегрирование изображения

20. Функция Хевисайда. Теорема смещения. Теорема запаздывания. Теорема подобия. Свертка функций. Изображение основных элементарных функций.

называется функцией Хевисайда или единичной функцией Хевисайда.

Теорема смещения:

Если f (t) F(p), то e ^{α t} f (t) F(p − α),. Здесь α - произвольное комплексное число.
Док-во.

Теорема запаздывания :

Если f (t) F( p) (т.е. f (t) · η(t) F( p)), то f (t − t₀) · η(t − t₀) e ^−t₀ ^{· p} · F( p) для любого числа t₀ ≥ 0.
Док-во.

Теорема подобия: Если f (t) - функция-оригинал и f (t) F(p), то для любого λ > 0 .
Док-во. .
Иллюстрации применения этого свойства: если , то ; если , то и т.д

Свертка функции: Сверткой функций f₁(t) и f₂(t) называется функция .
Свёртка обозначается символом f₁ * f₂: . Если f₁(t) и f₂(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригиналСвёртка функций коммутативна: f (t) * g (t) = g (t) * f (t), в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную τ на τ₁ = t −τ.
Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что ( f₁ * f₂ ) * f₃ = f₁ * ( f₂ * f₃ )

Изображение основных элементарных функций:

1/S

Применяя теорему о подобии получим

f( t) F( p)       1.         2. t n         3. e α t         4. e α t · t n         5. sin β t         6. cos β t         7. sh β t         8. ch β t

21. Восстановление оригинала по рациональному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.

x’(0)=x0,…, (0)=

Пусть f(t) F(s) ; x(t) – решение этого у-я