Айдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству: .

Решение:

Обозначим через множество, состоящее из точек плоскости, расположенных между прямыми и и содержащих точки самих прямых, через множество, состоящее из точек плоскости, расположенных между прямыми и и содержащих точки самих прямых. Искомое множество находится как пересечение множеств и . На рис. это все внутренние точки прямоугольника, вершинами которого являются точки , стороны прямоугольника принадлежат искомому множеству.

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.

Пример выполнения задания

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

Решение:

Выясним геометрический смысл разности Известно, что каждому комплексному числу соответствует некоторый радиус-вектор с началом в начале координат и концом в точке с координатами Мы имеем два комплексных числа – искомое , ему соответствует точка с координатами и число с соответствующей точкой с координатами Тем самым определены два вектора и .

Тогда разности комплексных чисел будет соответствовать вектор , имеющий начало в точке и конец в точке . По условию задачи , т.е. длина вектора должна быть больше или равна двум и меньше или равна пяти. Если проведем две окружности с центром в точке и радиусами, равными 2 и 5, то точки искомого множества лежат на этих окружностях и между ними, так как расстояние от точки до этих точек удовлетворяют условию задачи.

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.

Пример выполнения задания

Найдите на комплексной плоскости множество точек, советующих множеству:

Решение:

Пусть некоторая точка принадлежит и соответствует комплексному числу , где . По условию задачи имеем: , . Так как модуль комплексного числа определяет расстояние соответствующей точки от начала координат, то согласно условию задачи все точки, принадлежащие искомому множеству , находятся от начала координат на расстоянии меньше 5, т.е. все они лежат внутри окружности с центром в начале координат радиусом, равным 5.

Известно, что аргумент комплексного числа – это угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором из начала координат в точку, соответствующую данному числу. Поэтому точки искомого множества расположены между лучами, выходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси абсцисс углы, равные и , а также лежащими на этих лучах.

Обозначим через множество а через множество . Тогда искомое множество и представляет собой часть круга (сектор) с центром в начале координат и радиусом, равным 5, расположенную между лучами, исходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси абсцисс углы и . Отрезки лучей принадлежат данному множеству, за исключением начала координат, так как для числа аргумента не существует. Дуга окружно сти также не входит в искомое множество.

Найти значение и чисел , соответствующих точкам, заштрихованной области:

51.	52.	53.
54.	55.	56.
57.	58.	59.
60.

Пример выполнения задания

Найти значение и чисел , соответствующих точкам, заштрихованной области:

Решение:

Пусть – комплексное число, соответствующее одной из точек заштрихованной области , , где и . Из рис. видно, что и или .

Таким образом, множество точек заштрихованной области соответствует множеству комплексных чисел:

или

Найдите значение и чисел , соответствующих точкам заштрихованной области:

61.	62.	63.
64.	65.	66.
67.	68.	69.
70.	71.	72.
73.	74.	75.

Пример выполнения задания

Найдите значение и чисел , соответствующих точкам заштрихованной области:

Решение:

Обозначим искомое множество через . Пусть – произвольная точка заштрихованной фигуры и – ее декартовы координаты.

Легко заметить, что и . Точке соответствует комплексное число .

Таким образом, множество состоит из комплексных чисел , для которых , , т.е. .

Найдите значения действительных и :

76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.

Пример выполнения задания

Найдите значения действительных и из уравнения

Решение:

В правой части уравнения стоит комплексное число, записанное в алгебраической форме. Преобразуем левую часть уравнения так, чтобы получить алгебраическую форму комплексного числа. Получаем:

На основании условия равенства комплексных чисел в алгебраической форме находим, что искомые числа и являются решением системы линейных уравнений:

Ответ:

Решите систему уравнений:

101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.

Пример выполнения задания

Решите систему уравнений:

Решение:

Так как данная система содержит два уравнения и два неизвестных, то прежде всего найдем значение определителя системы.

Так как определитель , решим систему по правилу Крамера. Для этого найдем значения определителей и :

Ответ:

Найдите значения:

126.	127.	128.
129.	130.	131.
132.	133.	134.
135.	136.	137.
138.	139.	140.
141.	142.	143.
144.	145.	146.
147.	148.	149.
150.

Пример выполнения задания

Найдите значения:

Решение:

Найдем действительные решения этой системы. Для этого возведем каждое уравнение системы в квадрат и, сложив полученные выражения, найдем,

решениями которой являются числа

Сочетая каждое значение с каждым значением , получаем четыре решения системы: .

Условию удовлетворяют решения:

Ответ:

Решите уравнения в поле комплексных чисел:

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

11. а) ; б) .

12. а) ; б) .

13. а) ; б) .

14. а) ; б) .

15. а) ; б) .

16. а) 196 ; б) .

17. а) ; б) .

18. а) ; б) .

19. а) ; б) .

20. а) ; б) .

21. а) ; б) .

22. а) ; б) .

23. а) ; б) .

24. а) ; б) .

25. а) ; б) .

Пример выполнения задания

Решите уравнения в поле комплексных чисел:

а) ; б)

Решение:

а) Пользуясь общей формулой корней квадратного уравнения имеем:

б) Пользуясь общей формулой корней квадратного уравнения имеем:

Дополнительно получаем: . Решениями системы

являются пары чисел:

Среди них находим числа, удовлетворяющие уравнению :

Ответ: а) б)
Вычислите:

151.	152.	153.
154.	155.	156.
157.	158.	159.
160.	161.	162.
163.	164.	165.
166.	167.	168.
169.	170.	171.
172.	173.	174.
175.

Пример выполнения задания

Вычислите:

Решение:

Данная дробь представляет отношение степеней двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме:

и При решении задачи удобнее пользоваться тригонометрической формой записи комплексных чисел. Представим число в

тригонометрической форме: , где Для нахождения аргумента числа найдем сначала

Ответ:

Найдите значения:

176.	177.	178.
179.	180.	181.
182.	183.	184.
185.	186.	187.
188.	189.	190.
191.	192.	193.
194.	195.	196.
197.	198.	199.
200.

Пример выполнения задания

Найдите значения:

Решение:

Ответ:

риложение 1

Номера контрольных заданий по вариантам

№ варианта	№ заданий