Основы теории геометрических построений
Общие аксиомы конструктивной геометрии
Фигурой в геометрии называютлюбую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).
Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.
Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий, лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.
Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.
Пересечением или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.
Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат фигуре Ф.
Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.
Раздел геометрии в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием коструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.
Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:
1. Каждая данная фигура построена.
Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными ее элементами».
Представим себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА. Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 2), а затем луч ВN считается, что построена прямая МN, той же прямой, то, естественно, являющаясч соединением этих лучей. Эти примеры разьясняют смысл следующего постулата:
2. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединениеэтих фигур.
Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: АВ и СD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок СD целиком отрезку АВ (рис. 3а) или нет (рис. 3б). Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет.
Третье основное требование теории геометрических построений можно выразить следующим образом:
3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.
Пусть А, В, С, D – четыре точки прямой (рис. 4). Допустим, что отрезки АВ и СD построены. Тогда мы, конечно, будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВD, так и отрезок СD, который является разностью отрезков ВD и АС.
4. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.
Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:
Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.
С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.
Обратимся еще раз к рисунку 4. Пусть известно, что построены отрезки АС и ВD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок ВС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения вы ражаются следующим образом:
6. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.
В следующих трех основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.
7. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.
8. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.
9. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.
Задача на построение
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.
Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки – значит свести её к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.
1. Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).
2. Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.
3. Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).
4. Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).
5. Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).
Сведение решения каждой задачи к элементарным построениям делает решение громоздким. Поэтому часто решение задачи сводят к так называемым основным построениям.Выбор некоторых построений в качестве основных в известной степени произволен. Например, в качестве основных построений можно рассмотреть следующие задачи: деление данного угла пополам; построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение параллельной прямой, построение перпендикулярной прямой, деление отрезка в данном отношении; построение треугольника по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам; построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
Решить задачу на построение – значит найти все её решения.
Последнее определение требует некоторых разъяснений.
Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут различаться как формой так и размерами, так положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое положение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.
Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по трём сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник АВС, удовлетворяющий условию задачи. Все треугольники, равные треугольнику АВС, также удовлетворяют условию поставленной задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ничего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.
Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условию задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются «с точностью до равенства». Это означает, что задача считается решённой, если: 1) Построено некоторое число неравных между собой фигур Ф1, Ф2, … Фn, удовлетворяющие условиям задачи, и 2) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет n различных решений.
Рассмотрим теперь задачу несколько иного содержания: построить треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок ВС, другая сторона была равна другому данному отрезку l, а угол между ними был равен данному углу α.
В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника относительно одной из данных фигур (именно относительно отрезка ВС). В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка 5, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по разному расположены относительно данной фигуры ВС. В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры.
Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе.