Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа

1. Формула Пуассона

Использование формулы Бернулли при больших значениях Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru и Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru вызывают большие трудности. Например, при 1000 подбрасываниях монеты необходимо определить вероятность того, что «герб» выпадет ровно 150 раз. В этом случае Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru (выпадение «герба»), Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru (выпадение «решки»). Формула Бернулли примет вид: Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Вычисления будут очень громоздкими, поэтому возникает необходимость в отыскании приближенных формул для вычисления Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , обеспечивающих необходимую точность. Такие формулы дают нам предельные теоремы; они содержат так называемые асимптотические формулы, которые при больших значениях испытаний дают сколь угодно малую относительную погрешность. Рассмотрим три предельные теоремы, содержащие асимптотические формулы для вычисления вероятности при Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Теорема Пуассона. Если число испытаний неограниченно увеличивается Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru и вероятность Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru наступления события Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru в каждом испытании неограниченно уменьшается Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , но так, что их произведение является постоянной величиной Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , то вероятность Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru удовлетворяет предельному равенству

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru

или

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Формулу Пуассона обычно используют в случае, когда λ Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru 10.

Пример 1. Завод отправляет в некоторый город 1500 автомобилей. Вероятность того, что в пути машина может получить повреждение, равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей.

Решение. Событие Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru – в пути будет повреждено не более 4-х автомобилей, т.е. 0, 1, 2, 3, 4.

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

По формуле Пуассона

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru

2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

Теорема. Если вероятность Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru наступления события Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru может быть вычислена по приближенным формулам:

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

где Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Функция Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru называется функцией Гаусса.

Свойства функции Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

1. Функция Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru - четная, т.е. Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru = Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

2. Функция Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru - монотонно убывает, при Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru можно считать, что Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Пример 2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Учитывая, что Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , получим

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru

3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru независимых испытаниях событие Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru появится не менее Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru раз и не более Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru раз, т.е. Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru используют интегральную теорему Муавра – Лапласа.

Теорема. Если вероятность наступления Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru наступления события Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru может быть найдена по приближенной формуле

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

где Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,специальная функция, называемая нормированной функцией Лапласа,

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Свойства функции Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

1. Функция Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru - нечетная, т.е. Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

2. Функция Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru монотонно возрастает, т.е. при Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru можно считать, что Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Имеются таблицы приближенных значений функции Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , которыми удобно пользоваться для решения задач.

Пример 3. Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха. Если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия бракуется, т.е. возвращается в цех. Какова вероятность того, что партия будет принята?

Решение. Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru – вероятность бракованного изделия, Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru – вероятность хорошего изделия.

Вероятность принятия всей партии, т.е. Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru можно найти по формуле: Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru , Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru ,

Тема 5. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра - Лапласа - student2.ru .

Наши рекомендации