Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее

Лекция 35. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование.

Интегральное исчисление, наряду с дифференциальным исчислением, принадлежит к числу важнейших составляющих высшей математики (вместе они составляют так называемый математический анализ). Это исчисление базируется на понятиях неопределенного и определенного интегралов, введенных в математику Ньютоном и Лейбницем в конце 17-го века параллельно с введением ими же понятий производных и дифференциалов функций.

Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее.

В дифференциальном исчислении ставилась задача: для данной функции найти ее производную. В интегральном исчислении ставится обратная задача: по производной функции найти саму функцию.

Пусть y = f(x) – некоторая заданная функция.

Определение. Всякая функция y=F(x), производная которой совпадает с функцией y = f(x) , называется первообразной для функции y = f(x). То есть если , то функция будет первообразной для функции f(x) (а f(x) будетпроизводной от своей первообразной F(x)).

Пример1. Функция является первообразной для функции , так как .

Отметим, что функция - не единственная первообразная для функции . В самом деле, любая функция вида + С, где С – произвольная (неопределенная) константа, тоже будет первообразной для функции . Действительно, .

И вообще, если F(x) – первообразная для заданной функции f(x), то и все функции вида F(x)+C, где С - неопределенная константа, тоже будут первообразными для функции f(x). Действительно, если , то и .

Таким образом, найдя какую-либо первообразную F(x) для данной функции f(x), мы сразу можем записать для нее и множество других первообразных:

F(x) + C (С - неопределенная константа) (1)

Более того, мы сейчас докажем, что выражение (1) дает множество всех первообразных для функции f(x).

Действительно, пусть F(x) – какая-либо конкретная первообразная для функции f(x), а – любая другая первообразная для этой же функции f(x). Образуем новую функцию и найдем ее производную:

Как оказалось, эта функция имеет нулевую производную для любого . Но, как известно, производная функции характеризует скорость изменения функции. Значит, скорость изменения функции для любого х равна нулю. А это значит, что при изменении х функция не меняется (сохраняет постоянное значение).То есть , где С - некоторая постоянная. Таким образом, , откуда . То есть действительно любая первообразная для функции находится среди функций (1). Иначе говоря, множество функций (1) действительно представляет собой множество всех первообразных для функций . то множество Лейбниц обозначил специальным символом

(2)

и назвал неопределенным интегралом от функции . Здесь знак - знак неопределенного интеграла; - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - переменная интегрирования.

Так как выражение (2) - это лишь другое обозначение выражения (1), то можно записать:

(3)

Таким образом, отыскивая (вычисляя) неопределенный интеграл , мы тем самым ищем все первообразные для подынтегральной функции . То есть ищем все функции, производные от которых равны . Эти функции (их бесчисленное множество) представляют собой сумму конкретной функции (конкретной первообразной для ) и неопределенной константы С, которой можно придать любое значение. Из-за наличия этой неопределенной константыв равенстве (3) и результат вычисления неопределенного интеграла оказывается неопределенным. Отсюда и термин: неопределенный интеграл.

Если неопределенный интеграл найден верно (то есть множество всех первообразных для функции найдено верно), то должно выполняться проверочное для (3) равенство:

(4)

Пример 2.

- верно, так как .

- верно, так как .

- неверно, так как .

Основные свойства неопределенных интегралов.

1. Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(5)

Доказательство. Используя (3) и (4), получим:

2. Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

(6)

Доказательство. Вспоминая формулу для нахождения дифференциала функции, получим:

3. Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс неопределенная константа:

(7)

Доказательство:

.

4. Свойство 4. Нахождение функции по ее дифференциалу : если , то

. (8)

Доказательство. Если , то . А это значит, что функция является первообразной для функции . Но этих первообразных для функции имеется бесчисленное количество, и все они находятся посредством вычисления .

Примечание. Функция определяется по формуле (8) неоднозначно – она определяется с точностью до неопределенной константы С, которая появится после вычисления . Поэтому для однозначного определения функции по ее дифференциалу нужно задать некоторое дополнительное условие для этой функции. Таким условием, в частности, может быть следующее условие: , где и А - заданные числа.

Пример 3. Найти функцию , если известно, что и что .

Решение. Используя (8), получаем:

.

Мы получили бесчисленное множество функций :

(С - неопределенная константа).

Константу С найдем из дополнительного условия :

.

Таким образом, получаем окончательно: .

5. Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

(k – константа, k ) (9)

Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства (9):

,

где - неопределенная константа (если k ). Таким образом, равенство (9) принимает вид:

.

А это равенство верно, что подтверждает его проверка:

6. Свойство 6. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

(10)

Доказательство. Вычисляя правую часть равенства (10), получаем:

… = =

=

где

.

Таким образом, доказываемое равенство (10) принимает вид:

= F(x) + C

И оно верно, так как

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно использовать следующие правила:

1. Если , то

. (11)

Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (11), получим:

.

Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать.

2. Если , то

. (12)

3. Если , то

. (13)

Равенства (12) и (13) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Пример 4. ( по формуле 11).

Пример 5. ( по формуле 13).

Таблица основных неопределенных интервалов.

1. 8. =

2. = =x+C 9. = -

3. = +C (n -1) 10. =

4. = 11. = (14)

5. = +C 12. = +C

5^*. e^x+C 13. = +C

6. = 14. = +C

7. = - 15. = +C

Используя проверку (4) для неопределенного интеграла (3), легко убедиться в истинности каждого из результатов таблицы (14). Проверим, например, первые четыре неопределенные интеграла.

1) – верно;

2) - верно;

3) = - верно;

4а) Если то и (4) принимает вид: . А это верно, так как

4б) Если то , и (4) принимает вид: . А это верно, так как .

Совершенно аналогично дифференцированием правой части можно подтвердить и все остальные равенства в таблице (14).

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: .

Решение. Разделив числитель подынтегральной функции на знаменатель и использовав второе и третье правила интегрирования, а также таблицу основных неопределенных интегралов, получим:

Пример 5. Найти неопределенный интеграл: .

Решение.

Таблица (14) содержит лишь наиболее простые неопределенные интегралы. Но в математических справочниках содержатся многие сотни (и даже тысячи) наиболее часто встречающихся на практике неопределенных интегралов. К таким справочникам относятся, например, следующие:

1.Бронштейн И.Н. и Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М., «Наука», 1981.

2.Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М. «Наука», 1977.

3.Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., «Наука», 1971.

Таким образом, если требуется вычислить некоторый неопределенный интеграл, то его можно просто поискать в справочнике. Если же нужного интеграла в справочнике нет, то этот интеграл, так или иначе, стараются свести к одному или нескольким табличным интегралам. О методах такого сведения мы поговорим в следующем параграфе.

А сейчас пока лишь отметим следующее важное обстоятельство, связанное с интегрированием функций (с вычислением неопределенных интегралов) и отличающее интегрирование от дифференцирования. Производная любой элементарной функции всегда может быть найдена, и она опять же элементарная функция. А вот неопределенный интеграл не от всякой элементарной функции может быть записан через элементарные функции вида F(x)+C . Иначе говоря, не всякий неопределенный интеграл может быть сведен к табличным. А стало быть, не всякий неопределенный интеграл может быть вычислен в явном виде. Такие, не сводимые к табличным, неопределенные интегралы называются неберущимися (ибо вычислить неопределенный интеграл – это, на математическом жаргоне, «взять» интеграл). Неберущимися являются многие, даже совсем простые на первый взгляд, неопределенные интегралы. Например, такие:

1. - интеграл Пуассона

2. - интегральный логарифм (15)

3. - интегральный косинус.

4. - интегральный синус.

Эти и другие неберущиеся интегралы не могут быть найдены точно. Они могут быть найдены лишь приближенно. В соответствии с равенством (3) нахождение неопределенного интеграла сводится к нахождению какой-либо первообразной для подынтегральной функции. Вот эту первообразную для подынтегральной функции можно, используя компьютерные методы, подобрать приближенно с любой степенью точности.

Упражнения

1. Показать, что на всей числовой оси ох функция является первообразной для функции .

2. Найти все первообразные для функции

Ответ: .

3. Верно ли равенство:

Ответ: верно.

4.Найти функцию , если и .

Ответ: .

5) Используя основные свойства неопределенного интеграла и таблицу основных неопределенных интегралов, найти следующие интегралы: