Эксцентриситет параболы

.

Виды уравнений параболы:

Пример 1. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса

.

Решение. Разделив обе части уравнения на 16, получим

или , откуда

, , , , ,

, .

Таким образом, имеем:

, , , , .

Пример 2.Построить линию, определяемую уравнением

.

Решение. Вынося за скобки коэффициенты при квадратах координат и выделяя полные квадраты, получаем

,

т. е.

или ,

где и .

Переходя к новым координатам по формулам , последнее уравнение примет вид

.

Таким образом, это уравнение является уравнением эллипса с полуосями и центром в точке , т.е. , откуда .

	-2

Начало новой системы координат находится в точке .

Замечание. Если уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, то путем поворота осей и надлежащим выбором угла поворота следует добиться того, чтобы в преобразованном уравнении отсутствовало произведение текущих координат.

Пример 3.Определить вид и расположение на плоскости линии

.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полные квадраты:

,

.

Разделим обе части уравнения на 36:

.

Введем новые координаты , . Уравнение примет вид

.

Оно определяет гиперболу с центром в точке и полуосями , .

Полярная система координат

Полярная система координат определяется некоторой точкой О, являющейся полюсом, лучом, исходящим из этой точки, называемого полярной осью, и масштабом для измерения длины.

Полярными координатами произвольной точки М называются числа – полярный радиус, и – полярный угол. Обычно положительным считается поворот против часовой стрелки. Исходя из определения, полярный радиус , а полярный угол имеет бесконечно много возможных значений.

Связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами:

; ;

; .

При этом предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс, начало координат - с полюсом, и все три оси имеют общую единицу масштаба.

Пример 1.Построить точку М с координатами в полярной системе координат.

Решение. Проведем через полюс О ось под углом к полярной оси ОР (положительное направление указано стрелкой) и отложим от полюса в положительном направлении оси отрезок ОМ, равным трем единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будет искомой точкой.

Пример 2.Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой .

Решение. .

.

Примеры использования элементов аналитической геометрии в задачах экономического характера