Задачи для самостоятельного решения. 1)Написать уравнения касательной и нормали к заданной кривой в заданной точке

1)Написать уравнения касательной и нормали к заданной кривой в заданной точке .

а) ;

б) ;

в) .

2)В какой точке касательная к параболе

а) параллельна прямой ?

б) перпендикулярна прямой ?

3)Найти дифференциал следующих функций:

а) ; б) ; в) .

4)Вычислить приближённо:

а) ; б) .

Ответы

1) а) ; б) ; в) .

2) а) ; б) .

4) а) 2,25; б) 1.

Занятие №9.

Правило Лопиталя для вычисления пределов.

Производная функции, заданной параметрически.

Правило Лопиталя.

1)Пусть надо найти , где (или ), т.е. имеет место неопределённость вида или . Тогда

.

(Предполагается, что существуют производные в окрестности точки , а также существует предел, стоящий справа).

2) Пусть надо найти , где , , т.е. имеется неопределённость вида . Тогда следует сделать преобразование: , получив неопределённость вида , и воспользоваться указаниями в п.1).

3) Пусть надо найти , где , , т.е. имеется неопределённость вида . Следует сделать подходящее преобразование выражения и прийти к случаю 1) или 2).

4) Пусть надо найти , где имеется неопределённость вида . Пользуясь свойствами логарифма, преобразуем данный предел:

Таким образом, вычисление исходного предела сводится к вычислению предела

.

Замечание. Возможна ситуация, когда существует , но не существует . Тогда правило Лопиталя не применимо.

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрически, т.е.

.

Тогда её производная находится по следующей формуле:

.

Примеры.

Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8)Найти для функции , заданной параметрически:

а) ;

¨ ;

б) ;

¨ .

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) .

16) Найти : а) , б) , в) .

Ответы

1) ; 2) –2; 3) ; 4) 1; 5) ; 6) ; 7) 0; 8) 1; 9) 0; 10) 0; 11) ; 12) ; 13) 1; 14) ; 15) 1; 16) а) ; б) ; в) .

Занятие №10

Контрольная работа №2 по теме

«Производная функции одной переменной».

(Вариант-образец)

1)Написать уравнения касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой .

¨ Уравнения касательной и нормали в общем виде:

, .

Здесь ; . Поэтому уравнения касательной и нормали имеют следующий вид:

или ;

или .

2)Найти производную для заданной функции .

а) ;

¨

;

б) ;

¨

.

в) ;

¨ .

г) ;

¨ Используем логарифмическое дифференцирование: ;

,

.

д)

¨ Производная функции, заданной параметрически, вычисляется по формуле: .

Так как здесь , то .

Занятие №11

Исследование функций

(нахождение интервалов возрастания/убывания функции, экстремумов, интервалов выпуклости/вогнутости, точек перегиба, асимптот графика функции)

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки вида , такая что для любого х из этой окрестности. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции .

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на числовом промежутке , если для таких, что :

.

Определение. Точка , в которой функция определена, но либо , либо , либо не существует, называется критической точкой 1-го рода.

Как определять интервалы возрастания/убывания функции и точки экстремума:

1) Найти ; 2) определить критические точки 1-го рода для ; 3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось; 4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Если на рассматриваемом интервале, то возрастает (убывает) на этом интервале. Если при переходе аргумента через критическую точку слева направо меняет знак с «+» на «—» (с «+» на «—»), то — точка максимума (минимума). Если смены знака не происходит, то в точке нет экстремума. Заметим, что все вышеуказанные данные можно поместить в таблицу, как это сделано в приводимых далее примерах.

Примеры.

1)Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .

¨ Найдём . Тогда при . Нанесём эти точки на числовую ось и укажем сверху знаки в каждом из полученных интервалов. Внизу, под осью, укажем при помощи наклонных стрелочек характер поведения функции - убывание или возрастание функции. Затем, под критическими точками укажем, какими точками они являются — точками максимума или минимума (используя правило, данное выше).

x		-1
у'	—		+		—		+
y		т. мин.		т. макс.		т. мин.

2)Найти экстремумы и интервалы возрастания (убывания) функции .

¨ Найдём . Тогда при . Имеем:

x
y'	—	∞	+
y		т. мин.

Определение. График функции называется выпуклым (вогнутым) на , если он расположен ниже (выше) касательной, проведённой в каждой точке ; точка графика функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Определение. Точка , в которой определена, но либо , либо , или не существует, называется критической точкой 2-го рода.

Как определять интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции:

1) Найти ; 2) определить критические точки 2-го рода для ; 3) нанести эти точки, а также точки разрыва функции, на числовую ось; 4) определить знак в каждом из интервалов, на которые эти точки разбивают числовую ось.

Если , то график функции выпуклый (вогнутый) на этом интервале. Если не меняет знак, то в вышеуказанной точке нет перегиба графика функции.

Пример.

Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .

¨ Найдём , а затем и . Тогда при . Укажем знаки на каждом из интервалов, на которые разбивают числовую ось эти точки. Внизу, под осью, укажем особенности графика — выпуклый он или вогнутый при помощи условных знаков и , соответственно.

x
y'’	+		+		—		+
y		нет пере-гиба		т. пере-гиба		т. пере-гиба

Определение. Асимптота графика функции - это прямая такая, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой, если

(т.е. — точка разрыва 2-го рода).

Определение. Прямая , где , называется наклонной асимптотой. Если , то соответствующая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Пример.

Найти асимптоты графика функции: а) ; б) .

¨ а) Так как — точка разрыва 2-го рода, то — вертикальная асимптота графика. Найдём теперь асимптоты вида . Определим и :

; .

Получаем уравнение наклонной асимптоты: .

б) Вертикальных асимптот у графика нет, так как функция всюду непрерывна. Найдём теперь наклонные асимптоты вида , рассматривая отдельно случаи , .

Так как при , то наклонной асимптоты при нет. При , . Таким образом, уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты при : . Заметим, что для вычисления предела мы использовали правило Лопиталя.